X3
EX
④ 192
①1連続関数f(x) が すべての実数xについてf(π-x)=f(x) を満たすとき
f(xー2)f(x)dx=0が成り立つことを証明せよ。 また,これを用いて、定積分
を求めよ。
12
定積分 S$³ (
3
xsinx
X COS X
+
1+cos x 1+ sinx dx を求めよ。
(1) 1=(x-27 ) f(x)dxとする。
π-x=t とおくと
x=-t, dx=-dt
したがって
S-1-S (x-1-2)f(x-1).(-1)dt
=
12.₁² = -√(x - 2)ƒ(x)dx=-1
f(-x) =
よって, ① から
=-
(4-1)(x-1)dt-S(-1)/(tat
==
よって
次に、J=fxsin' x dx とし,f(x)=
x
I=0 すなわち S. (xー2)
f(x)dx=0.①
とすると
sin³(-x)
sin³ x
4-cos²(-x) 4-cos²x
=
COSx=u とおくと
102K² J = 7/5₁ ² 1 = 1²
π
-11-u²
ゆえに
J=S7xf(x)dx=
dx=S² {(x − 2)ƒ(x) + f(x)}dx
-25, 2²-1²
=
du
U
sin³x
4-cos²x
dx=So 4-cos² x
2
-sinxdx=du
-.(−1)du
-xd)-
π
2
1
25₁
-= f(x)
=Ső(x− 7 )ƒ(x)dx+ZS[ƒ(x)dx=f(x) dx
TEST
Tsin³x
2 Jo 4-cos²x
sinxdx=\
x
u²-1
X
U
0 → π
↑ → 0
- du
xh
I+x
0 → π
1→-1
xsin³x
o 4-cos²x dx
HINT (1) (*)
π-x=tとおく。
(後半) (前半) で証明し
た等式を用いるために,
sin³ x
まずf(x)=
4-cos²x
として, f(x-x)=f(x)
であることを示す。
x ²d sh
〔類 名古屋大〕
←ƒ(n-t)=f(t)
←同形出現。
_²2
6 200
1610
←まず、f(x)=f(x)
を示す。
INOI
|←5₁(x−77)ƒ(x)dx=0
7
