Question

The end of the tale

解答が違いました。なぜでしょうか？
基本例題129です。青チャートです。

2)
76²421 21 12 + 11 = 1
21 k = 10
OR。また、R-5m-2エリー
0≤ 5m-2-
R = -21 2²
これを満たす整数は、
47 // EM IN
満たす整数は、
719+32g=3
712-3-32なま
71% = 3 (mad 32) 11 F/v. 32X = 0 (mad 32).
0 © × 2 = 72 = 3 (mad 3 2 ) 111 (3)
37 x 4 =
4x = -12 (mad 32) 1² (4
⑤で、⑤
No.
mなので、M=1で最小値=74
ill e) *¹.
91
Date
144 =
-3x = 15 (mad 32)
KE/²1² X = 32k +5 Taaz!"
71.32k
355-3:32g
==71-321 +352 = 327 + g = -71 k-11 Tanz"
求める整数は、x=32k+5、y=-71R-1(実は整数)
A = 5 (mad 32) 11.
(3) 73x-56g=ら…ⓐⓓとする。
⑩:734-5=56gとすると、73X=5(mad56)…①で、
56α = 0 (mad 56 ) cu Q FY₁
21 (5m-2) + ₁
74
- 0) = 17x = 5 (mad 56 ) "1") z".
-3x③ :
2-3x 5% = -15 (mad 50) 2²-5 × 563 314 722"-
友支整数とし、X=56-3。よって、ⓐより、y=73-4だから、求める整数は、
X=560-3.y=734-4(友は整数)
期間
れこ」を満たす整数について考える。3.7で割ったときの間を各々a.bとすると.
N< ZA+ 211¹₂ N = 76+4 + DIY
21 (₁5m-2) +11
(05m-42+11
3a+2=7b+4<3a-7b=2.③であり、③の特殊解は、a-3,bンなので
3(a-3)=7(b-1)で、3X7は互いに素数なので、友を整数とし
A-3 = 7k₁b-1= 3k³²² α= 7k+3₁ b = 3k+1² Tjaz". N= 2/k+|| CEID.
また、れなで割ったときの高効とすると、9:58+3であり、
-42t|1=31
21k+11=5ℓ+3211-5ℓ=-750-21R=7.④.④の特殊解
=-7R-2なので、5((+7)21(+2)で、5と21は互いに素なので、数とし
J
8
l+ 7 = 2/m₂k+ 2 = 5m =) - l = 21m-7₂ k = 5m-2-7¹) ₁ N² 105m -31%%"

224
00000
基本127 128
基本例題 129 1次不定方程式の応用問題
3で割ると余り, 5で割ると3余り, 7で割ると4余るような自然数nで最小の
ものを求めよ。
8が最小である
よって、 ｢3で割ると2余り, 5 で割ると3余る自然数」 を小さい順に書き上げると
入 8, 23, 38, 53, 68,
また, 7で割ると4余る自然数は 4, 11, 18, 25, 3239 46 53
A, B から 求める最小の自然数は53 であることがわかる。
3で割ると余る自然数は2,5,8, 11, 14, 17, 20, 23, ...
5で割ると3余る自然数は 3, 8, 13, 18, 23, ······
******
このように、書き上げによって考える方法もあるが, 条件を満たす数が簡単に見つから
い (相当多くの数の書き上げが必要な) 場合は非効率的である。
そこで、問題の条件を1次不定方程式に帰着させ、その解を求める方針で解いてみよう。
解答
nはx,y,zを整数として,次のように表される。
n=3x+2, n=5y+3, n=7z+4
3と5の最小公倍数 15 ずつ大きくなる。
3x+2=5y+3 から
3x-5y=1
x=2, y=1は, ① の整数解の1つであるから
3(x-2)-5(y-1) = 0 すなわち 3(x-2)=5(y-1)
3と5は互いに素であるから, kを整数として, x-2=5kと表
される。よって
x=5k+2 (kは整数)
② (a bom)
② を 3x+2=7z+4に代入して
ゆえに 7z-15k=4 ·..... ③
3(5k+2)+2=7z+4
z=-8,k=-4 は, ③ の整数解の1つであるから
7(z+8)-15(k+40 すなわち 7(z+8)=15(k+4)
7 15 は互いに素であるから, lを整数として, z+8=151 と
表される。 よって z=151-8 (lは整数)
これをn=7z+4に代入してn=7(151-8)+4=1051-52
(TE bom) -
最小となる自然数nは, l=1 を代入して
53 TE bom) 88-
練習
③ 129 1000 を超えない最士の
重
ど
[注意] 3x+2=5y+3
かつ 5y+3=7z+4
として解いてもよいが、
数が小さい方が処理しやす
このときy=3k+1
x-7z=2から
3(x-3)-7(z-1) = 0
ゆえに,を整数として
x=71+3
これとx=5k+2 を等置し
て 5k+2=7l+3
よって 5k-7l=1
これより, k, lが求められ
あるが, 方程式を解く手間が
1つ増える｡
3で割ると2余り, 5で割ると余り 11で割ると5全る自然数のうちで
で
検討 百五減算
MS-A78)00
ある人の年齢を3,5,7でそれぞれ割ったときの余りを a,b,c とし, n=70a+216+15c とす
る。このnの値から 105 を繰り返し引き, 105より小さい数が得られたら、その数がその人の年
齢である。 これは3,5,7で割った余りからもとの数を求める和算の1つで、百五減算と呼ばれ
る。なお、この計算のようすは合同式を用いると、次のように示される。
求める数をxとすると, xa (mod3), x=6 (mod5), x=c (mod7) であり、
n=70a=1•a=a=x (mod 3), n=21b=1·b=b=x (mod 5), n=15c=1+c=c=x (mod 7)
よって, n-xは3でも5でも7でも割り切れるから, 3, 5, 7 の最小公倍数 105で割り切れる。
ゆえに,kを整数として, n-x=105k から x=n-105k
このkが105を引く回数である。
m-
[1.

不定方程式

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

しゅわっちい

最後のところ、
21k＋11＝5L＋3の後で計算ミスですかね〜
21k−5L＝−8です。

The end of the tale

ほんとだ！ありがとうございます😊

しゅわっちい

いえいえ！
ちなみにですが合同式使えるなら合同式の方が早いしミスないかもですよ
練習であえてこのやり方でやってるなら余計なこと言ってすみません笑