Question

あ

（2）を教えてください🙏

2
tを実数とする。
直線L:y=(t+2)x
□(1) tが実数全体を動くとき, しが存在する領域を図示せよ。
□ (2) tt -2 を満たして動くとき, しが存在する領域を図示せよ。
+1
+1 ….....① について次の問いに答えよ。
(「ゼミ」 オリジナル)

7
2 曲線の通過領域
解答の指針
連絡は の値によって、いろいろな直線を表す。 (1)はが実数全体を働いたとき直線10
頭する領域を求める問題だ。(2)は1>-2の範囲のときの直線しの通過する領域を求めの
POINT
tについての2次方程式とみて実数解が存在する条件に読みかえる
(1) で, 「t がすべての実数値をとるとき直線y=(t+2)x+1 が点(X,Y) を通る」と
12
4
+1を満たす」
4
すると,「点(X,Y)に対して、ある実数tが存在して, 等式 Y=(t +2)X-
となり,さらに 「点(X,Y) に対して, tについての2次方程式 2-4Xt - 8X +4Y-4 = 0)
が実数解をもつ」と読みかえることができる。 したがって, t についての2次方程式の判別
(「この1題から応用力UP!」参照)
式D≧0と考えればよい。
POINT
tの範囲が限定されるときは,その範囲に実数解をもつ条件を求める
(2)は,t>-2という範囲がついているので,(1)と同様に考えると,「点(X,Y) に対して、
tについての2次方程式-4X-8X+4Y-4=0がt>-2の範囲に実数解をもつ」と読
みかえることができる。 これは、 2次方程式の解の配置問題として解くことができる。
解答 間違えた原因やどうすれば解けたかを考えながら読もう。 NECK
Check
(1) 直線が通過する範囲の点の座標を(X,Y) とおいて,①をtに
ついて整理すると,
A
t°-4Xt-8X+4Y-4=0
②tについての2次方程式とみると,
②が実数解をもつような (X,Y) の範囲が求める範囲である。
よって, t に関する 2次方程式 ② の判別式をDとすると,
D
44=4X2-(-8X+4Y-4)
=-4(Y-X2-2X-1)≧0
YA
Y≦ (X+1) 2
したがって 求める範囲はy≦(x+1)2 であり, 下の図の斜線部
分となる。
ただし, 境界線を含む。
1
・・・・・・②
10
も参考にしよう!
(
A POINT
□t の2次方程式が実数解をもつ条件に読みかえて、 領域を求めることができたか
tについての2次方程式
とみて実数解が存在する
条件に読みかえる
「点 (X, Y) に対して、ある実
数tが存在して 等式
+²
(2)
Y=(t+2)X-- +1 を満たす」
⇔ 「点 (X,Y) に対して, t
についての2次方程式
t²-4Xt-8X+4Y-4=0
実数解をもつ」
と読みかえる。
f(t)=t²-42
t>-2におい
f(t):
CCheck
□t の2次方
(i) 2X ≦
y = f(t
と共有
ばよい
よっ
(ii) 2X
y=
y=
f(
よ
た

る
f(t)=ピ-4Xt8X+4Y-4 とおく。
t> -2 において, f(t)=0となる t が存在すればよい。
f(t)=(t-2X)+4{Y-(X+1)^}
□もの2次方程式が>-2の範囲に実数解をもつ条件に読みかえることができたか
quals
Check
(i) 2X-2. すなわち,X≦-1のとき C
y=f(t) のグラフがt> -2においても軸
と共有点をもつには, f(-2)<0であれ
ばよい。
f(2X)=4{Y-(X+1)^}≦0
よって,
f(-2)=(-2)-4X· (−2) -8X+4Y-4
= 4Y <0
よって, Y<0
実
(i) 2X-2, すなわち,X>-1のとき
C
y=f(t) のグラフの軸t=2Xがt> 2 に存在するので,
y=f(t) のグラフがt > -2においてt軸と共有点をもつには,
f(2X) ≦0 であればよい｡ D
Y-(X+1)≦0
Y≦ (X+1) 2
B
(i), (ii)より 求める範囲は、 下の図の斜線部分となる。
ただし, 境界線は, 実線は含み, 点線は含まない。
YA 3664/1²
1
y=f(t)
2X-2
10
B POINT 2
y=f(t)
y=f(t)
VJ NJ
-2 2X
12X
2
tu
IC
Check □t>-2の範囲に実数解をもつ条件から、 領域を求めることができたか
tの範囲が限定されると
きは、その範囲に実数解
をもつ条件を求める
「tot>-2の実数値をとると
D
直線l:y=(x+2)-1/+1
が点(X,Y) を通る」
⇒ 「点 (X,Y) に対して, t
についての2次方程式
t²2-4Xt-8X+4Y-4 = 0
t>-2の範囲に実数解をもつ」
と読みかえる。
2次方程式f(t) = 0 がt>-2
の範囲に実数解をもつ条件を,
2次関数y=f(t) のグラフの
軸の位置で場合分けして考え
ている。
y=f(t) の軸は,t=2Xである。
2X > 2 の場合は,t>-2の
範囲に実数解が1個の場合と2
個の場合の両方が考えられる
が,どちらの場合も, y = f(t)
のグラフの頂点のy座標 ≤ 0
すなわち, f (2X) ≤0 であれ
ばよい。 (判別式から求めても
よい｡)
「この1題から応用力UP! 」 も確認しよう