22 実数全体を定義域とする関数f(x)をf(x)=3f_(+4)-1)dt によって定める。
(1) y=f(x)のグラフをかけ。
(2) 関数 y=f(x) のグラフとx軸で囲まれる部分の面積を求めよ。 (慶応義塾大)
(1) (t+|t|)(t+|t|− 1) =
[1] x≧0のとき
(2t(2t-1) (t≥0)
(t <0)
10
x-1≦t≦x において
よって f(x)=350dt=0
[2] x-1<0<x すなわち0<x<1のとき
10 において (t+t)(t+|f-1) = 0,
tx において
(t+|t|)(t+t-1)=2t(2t - 1)
よって f(x)=350dt+ 3f2t(2t-1)dt
(t+|t|)(t+|t|−1)=0
= S₁ (12t² - 6t) dt = [4t³ - 3t²] =4x³–3x²
したがって f'(x)=12x2-6x=6x(2x-1)
f'(x)=0とするとx=0, 1/2
0<x<1におけるf(x) の増減表は、右のよう
になる。
[3] 0≦x-1 すなわち x≧1のとき
x-1≦t≦x において (t+|t|)(t+|t|-1)=2t(2t—1)
よって
f(x)=3S_212t-1)dt=[4r_3t2]_1
=4x3-3x2-{4(x-1)-3(x-1)2}
* = 12(x − ³ ) ² + 1/
=12x2-18x+7 =
f'(x)
f(x)
x 0
[1]~[3] から, y=f(x)のグラフは、 右の図の実線部分
のようになる。
(2) (1) のグラフから, 求める面積Sは
y↑
1
***
I
O
1
2
1
4
+
1
31x
4
27
S-S(4-3d-[-]-[-](赤)(リー
=
256
10
23 E
(
