Question

みっふぃー

94番の(1)
n=k+1のときの式の変形がどうやったら解答のようになるのか(特に1行目から2行目への変形と、3行目の31がどこから出てきたのか)がわかりません。
教えてください🙇🏻‍♀️

□ 94 * (1) nは自然数とする。 5+1 +62n-1は31で割り切れることを, 数学的帰納
法によって証明せよ。
(2)は2以上の自然数とする。 23"-7n-1は49で割り切れることを, 数
学的帰納法によって証明せよ。

(1) 「5+1 +62-1は31で割り切れる」 (A) とす
る。
[1] n=1のとき
2-3
5n+1+62n-1=52+6=31
よって, n=1のとき, (A)は成り立つ。
[2] n=kのとき (A) が成り立つ, すなわち
5k+1 +62k-1は31で割り切れると仮定すると,
ある整数mを用いて次のように表される。
5k+1+62k-1=31m
n=k+1のときを考えると
5(k+1)+1+62(k+1)-1
=5.5k+1 +36.62k-1
=5(5k+1 +62k-1)+31.62k-1
=5.31m +31.62k-131(5m+62k-1)
5m +62k-1は整数であるから,
5(k+1)+1 +62(k+1)-1は31で割り切れる。
よって,n=k+1のときにも(A) は成り立つ。
[1], [2] から,すべての自然数nについて (A) は
成り立つ｡

漸化式

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

こた

1〜2行目は指数法則に従ってるだけです。
a^5 = a^3 ・ a^2のように、同じ文字をかけたときに、指数を足すことでまとめることができるというものです。
よって、5^{(k+1)+1} = 5^1・5^(k+1)となります。
6に関しても同じように変形できます。
2〜3行目では、少し頭を捻る必要がありますね…
36・6^(2k-1) = (5+31)・6^(2k-1) = 5・6^(2k-1) + 31・6^(2k-1)
というように変形してあげることで、共通因数の5を作り出しています。

みっふぃー

ありがとうございます！