Question

第1志望に合格したい。

EX76の問題を標問135の研究と同じ解き方で、3x+2y=6nを両辺6で割ってx/2+y/3=nになってx=2k、x=2k-1で場合分けして解くことはできますか。

無問 135 格子点の個数
I, y, z を整数とするとき, ry平面上の点(x,y) を2次元格子点, TYz 空
間内の点(x,y,z) を3次元格子点という.m,nを0以上の整数とすると
き,次の問いに答えよ.
(1) 2012/21/ysm をみたす 2次元格子点(x,y) の総数
+
を求めよ.
(2) x0,y0,z≧0かつ 1/3+1/13y+zan をみたす 3次元格子点
(x,y,z) の総数を求めよ.
(名古屋市立大 )
・精講
(1) 格子点をどう数えるかが問題で
す。研究でx=(一定) となる直
線上の格子点を順次数えてみましたが, 大変です.
そこで合同な三角形を付け足して長方形にしてみ
たらどうでしょう.
(2) z=(一定)となる平面による切り口を考え
ると (1) が利用できます。
〈解答
(1) 0(0,0),A(3m, 0), B(3m, 5m),C(0, 5m) とおくと, 与えられた領域は
△OACの周および内部である.
△OAC≡△BCA であり,線分 AC 上には
(0, 5m), (3, 5(m−1)), (6, 5(m-2)), ···, (3m, 0)
のm+1個の格子点がある.
=1/12 (15)
1
(2) ²/3x+//y+z<n & {√x+} {y≤n-z
求める2次元格子点の総数Sは, 長方形 OABC の周および
内部にある2次元格子点の総数を T, 対角線AC上の2次元格
子点の総数をLとおくと
0
S=1/12(T_L)+L=1/12(3m+1)(5m+1)-(m+1)}+(m+1)
-(15m²+9m+2)
解法のプロセス
(1) 三角形内の格子点の総数
↓
長方形を考える
(2) z=(一定) 平面による切
り口を考える
と変形する.
z(z=n,n-1, n-2, ..., 0) を固定し,
303
3n
x
n
y+
5mm
0
-n-m
B
3m
HA
IC
5n
第8章

304 第8章 数列
m=n-z(m=0, 1,2,…,n)とおくとは 1/3+1/2≦mとなる。これ
:+
をみたす2次元格子点 (x, y) の総数は,(1)より
1 (15m²+9m+2)
2
であるから、求める3次元格子点の総数は
(15m²+9m+2)
15_n(n+1)(2n+1)_9_n(n+1)
= -
m=0
2
= 1/(n-
−(n+1)²(5n+2)
=
研究(1)=(一定)となる直線上の格子点を数えてみる.1≦k≦m を
みたすんに対し, △OAB 内の ANSAT
BREE
6
直線 x=3k上にある格子点は,
5(m-k)+1個
直線x=3k-1 上にある格子点は,
5(m-k)+2個
直線x=3k-2 上にある格子点は, 5(m-k) +4 個
であるから, 2次元格子点の総数は
m
m
(5m+1)+Σ{5(m−k)+1}
k=1
k=1
+Σ{5(m-k)+2}
m
2
k=1
+Σ{5(m−k)+4}
m
=(5m+1)+Σ{15(m−k)+7}
k=1
m-1)
=(5m+1)+{15j+7}
j=0
=(5m+1)+15-
(m-1)m
2
(15m²+9m+2)
2
+ (n+1)
-+7m
5(m-k) +5
5 (m-k) +4
5 (m-k) +2
5 (m-k)
5m
IC
1/3+1/6=m
5
O 3k-3
3k-2
I
I
3k
\3k-1
3m
A
IC

EX
③76
nは自然数とする。3本の直線3x+2y=6n, x=0, y=0で囲まれる三角形の周上および内部に
2
HOT10
あり,x座標とy座標がともに整数である点は全部でいくつあるか。
[大阪府大]
直線3x+2y=6n (nは自然数) ...... ① (1
⑩ (\t+(i-sh)+1 | 座標平面において, x 座
とx軸,y軸の交点の座標は,それぞ
標、y座標がともに整数
である点を格子点
う。
とい
れ (20) (0, 3n) である。
直線x=k(k=0, 1, ......, 2n) と,
① の交点の座標は
3n- (32/2 k)
k,
[1] んが偶数のとき
k=2i(i=0,1,
3
2
.......
***, n) とすると
3
[2] kが奇数のとき
k=2i-1(i=1,2,
n
(3n-3ź)-0+1=3n-3i+1
i=0
2
[1], [2] から 求める格子点の総数は
3n- -k=3n- ･・2i=3n-3i (整数)
よって, 直線x=2i上の格子点 (20) 2i, 1), .......
(2i, 3n-3i) の個数は
n
(3n-3i+1)+(3n-3i+2)
3n-3i+
(3n-3i+1)-0+1=3n-3i+2
3n
= 3n+1+Σ(6n-6i+3)
i=1
7
3n-3i
る
32
A
A
i=1
1
0.4.
2i-1
-2i
n) とすると
3n-
1-2123k=3n-2/12 (2i-1)=3n-3i+
2
12
(S+5)(E+)
よって,直線x=2i-1 上の格子点 (2i-1, 0), (2i-1, 1),←x軸上の点は含まれる
が、直線①と直線
…, (2i-1,3n-3i+1) の個数は
x=2i-1 の交点は含ま
れない。
\)(S+A)(E+A) ___ A(I+A)(S¬^)(E+A)(D+a)
12
(63) ++A)(1-A)(S+A)(8+A)
2n
+2=←交点のy座標 3n- 2
- k
x
(30)+(20
が整数になるかならない
かで場合分けして考える。
X3
=3n²+3n+1(個)
ir?v=6n (0≦y≦3n) 上の格子点 (0, 3n),
x軸上の点も含まれる。
$3OSSA (1)
D₂+x=2QH+x+20
= 3n+1+(6n+3) n-6 n(n+1) ° + n) (E+w) (B
18
-04-
ac (10)
←第1項のi=0 の場合
だけ別に計算。また
12
Σak+Σbk
k=1
=3n+1+(6n+3) Σ1-62i-Data) + = 2(a₂+bx)
n
3
k=1
n
k=1
\^²
3章
EX
[数
列]

格子点 数列