Question

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数学IIIです。置換積分のθの範囲は自分で好きなように定義していいのでしょうか？理由がしりたいです。

お願いします💦

66 x = asin0, x=atan0 とおく置換積分
次の定積分を求めよ.
1
- dx
√4-x²
2
(1) S²
So
解答
(1) x=2sind(s)とすると、
dx
do
であるから,
1
So
4-x
(1)
=2costより, dx=2cosedo
2
dx
=
T
||
6
TL
S--
(2) ²√4x² dx
π
= 5.6.
π
= 6²
1
4-4 sin²0
√4 cos²0
1
|2cos
1
2 cos 0
2
2 cos 0 de
･・ 2 cos e de
･・2 cos do
π
= £³1 do = [0]* - * *
=
6
1
-1 x2 +3
(明治大/関西学院大/福島大)
(3) S
xC 0
0 0
dx
IS
π
6
x=0のとき,
sin0=0 なので, 0=0
UMA
・cos do 一般に,AAである
|
x=1のとき、 (
sin 0 =
=1/2なので、O=7
6
〇)(T)
積分区間の≧0≦に
においてつねに
2 cos0 なので,|2cos0=2cos0
として絶対値を外してよい

(ⅡI)
1
√a²-x²
(II)
解説講義
次の2つの積分は,置きかえの仕方を覚えておかないといけないものである. どちらのタ
イプも、入試では極めて頻出である.
(I)
1
x² + a²
2
3 3144
数学
ⅡIの必勝ポイントー
(I)
1
+
36
-π
・の積分ではx=atan0 とおく
2
²x" を含む式の積分ではx=asin0
-
x=asin0 とおくとき,0は1
1の範囲で考える。一匹1匹であれば
2
0
cos 0 ≧0であり、あとの計算で都合がよい.x=atan とおくときは<<とす
るとよい.
(1) は x = 2sind とおいて置換積分をしないと計算できないが,(2) のような ∫√a^²-xdx
という形の定積分は,「円の面積を考える」という解答を理解しておきたい。 別解に比べて
圧倒的に計算量を減らすことができる.
ino ka
とおく
2
やっa²-x² を含む式の積分ではx=asin0 とおく
1
の積分ではx=atan0 とおく
2
2
x² + a²
2
a² ²-x²
【重要】 feat-xdxは「円の面積」を考えると素早く求められる
2

数学iii 数学 置換積分 置換積分法 積分区間 sinθ tanθ

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

TAA

sinθって、-1〜1の範囲を動きますよね。

ーπ/2≦θ≦π/2とすれば、θの値とsinθの値が1対1で対応するのと同時に、sinθの範囲を全て網羅できるからなのではないかなと思います。

あとは、解説に書いてある通りですね。

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ありがとうございます！
適当に決めてるわけではないんですね😅