Question

葡萄糖

求詳解啊～
它答案給的是5

10. 設x為實數,求√x+2x+1+vx²+4x+4+vx²-6x+9的最小值=

算幾不等式

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

qn

注意到每個根號內都是完全平方式
原式=√(x+1)²+√(x+2)²+√(x-3)²
= |x+1| + |x+2| + |x-3|
接下來有三種作法：

(1)分類討論：
當x<-2 原式=-(x+1)-(x+2)-(x-3)=-3x
原式>6
當-2≤x<-1 原式=-(x+1)+(x+2)-(x-3)=-x+4
5<原式≤6
當-1≤x<3 原式=(x+1)+(x+2)-(x-3)=x+6
5≤原式<9
當x≥3 原式=(x+1)+(x+2)+(x-3)=3x
原式≥9
所以最小值=5

(2)三角不等式(|a|+|b|≥|a±b|)(這裡只有用到減)
原式=½[(|x+1|+|x+2|)+(|x+2|+|x-3|)+(|x+1|+|x-3|)]
≥½[|(x+1)-(x+2)|+|(x+2)-(x-3)|+|(x+1)-(x-3)|]
=½[|-1|+|5|+|4|]
=10/2=5
所以最小值=5

(3)最小值發生在中位數
-2, -1, 3的中位數為-1
x=-1代入得原式=|0|+|1|+|-4|=5
所以最小值=5

葡萄糖

謝謝你！