Question

きくぶん

(3)の解説を詳しくお願いします。解答で、なぜ2AM²=AC²+AB²-2BM²という式がたつのかがわかりません。

△ABCにおいて、辺BCの中点をMとし,
AB=c, BC=2a, CA=6 とおくとき 0%
(1) cos Bをa, b, c で表せ.
(2) AM2をa,b,c で表せ.
(3)
AB²+AC²=2(AM²+BM²)
が成りたつことを示せ.
(1) △ABCに余弦定理を適用して
cos B=
精講
(2) 三角形の内部に線が1本ひいてあると,1つの角を2度使うこ
とができます.この問題でいえば, ∠B を △ABC の内角と考え
て(1)を求め,次に △ABM の内角と考えて AM2 を求めることが
それにあたります。
解答
-
(3) この等式を中線定理 (パップスの定理)といいます. この等式は,まず使
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えるようになることが第1です. 使えるようになったら自力で証明すること
を考えることも大切です.また,証明方法はこれ以外に,三平方の定理を使
う方法 (**)や数学ⅡIで学ぶ座標を使った方法,数学Cで学ぶベクトル
CA
を使う方法などがあります.
DVD
図中の線分 AM を中線といいますが, この線分AM を 2:1に内分する
点Gを △ABC の重心といい (52) これから学ぶ数学ⅡIの「図形と方程
式｣,数学Cの「ベクトル」 「複素数平面」でも再び登場します.
4a²+c2-62_4a²+c²-62
=
C
2.2a.c
4ac
(2) △ABM に余弦定理を適用して
#
B
a
- a
AM²=c2+α²-2cacosB=c2+a-
M
a C
4a²+c²-6² 6²+c²-2a²
2
2
(3)a=BM,6=AC, c=AB だから, 2AM² = AC2 + AB2-2BM2
よって, AB2+AC2=2(AM²+BM² )

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

やっほー

(2)で成り立つ式にa=BM b=AC c=ABを代入して、変形してるだけです！

きくぶん

ありがとうございます！「AM=」の形になっていることに気づけばよかっただけだったんですね！教えてくれてありがとうございました。

Answer 2

mo1

＞なぜ2AM²=AC²+AB²-2BM²という式がたつのか

(2)の結果【ＡＭ²＝(b²＋c²－2a²)/2】をそのまま続けて

●両辺を2倍して

2ＡＭ²＝b²＋c²－2a²

●{b＝ＡＣ，c＝ＡＢ，a＝ＢＭ}と設定してあるので

2ＡＭ²＝=ＡＣ²＋ＡＢ²－2ＢＭ²

●という感じです。