Question

nanatu

数Aの一次不定方程式の整数解の問題です。
xとyを式で表すときにkという同じ文字を使うことができるのはなぜですか？

558
基本例題 135 1次不定方程式の整数解 (1)
次の方程式の整数解をすべて求めよ。
(1) 9x+5y=1
指針
ax+by=1
(2) 19x-24y=1
(宝木))
まず,1組の解を見つける
(1) x,yに適当な値を代入して1組の解を見つける。 方法は何でもよいが,例えば
1次不定方程式の整数解を求める基本
[1] 係数が大きいxに 1, -1 などを代入し,yが整数となるようなものを調べる
(1)9x+5y=1・
①
解答x=-1,y=2は①の整数解の1つである。
よって 9・(-1)+5・2=1
①②から
すなわち
95は互いに素であるから, x+1は5の倍数である。
ゆえに,kを整数として, x+1=5kと表される。
③に代入して
すなわち
よって, 解は
②
9(x+1)+5(y-2)=0
ア
9(x+1)=-5(y-2)・ 3
9.5k -5(y-2)
9.5k=-5(y-2)
[2] 9x を移項して 5y=1-9x この右辺が5の倍数となるようなxの値を探す 。
(2) 係数が大きいから, 1組の解が簡単に見つかりそうにない。 このようなときは,互
除法を利用して見つけるとよい。 解答下の注意 を参照。
TRO
y-2=-9k
x=5k-1, y=-9k+2 (kは整数)
(2) x=-5, y=-4は方程式の整数解の1つである。
よって
19(x+5)-24(y+4)=0
00000
すなわち
19(x+5)=24(y+4)
19と24 は互いに素であるから x+5は24の倍数であ
る。ゆえに,kを整数として, x+5=24k と表される。
④ に代入して
19･24k=24(y+4)
すなわち
よって解は
注意 19 と 24 で互除法を用いて
p.557 基本事項 2 演習 140
y+4=19k
x=24k-5, y=19k-4 (kは整数)
1組の解はどのようにと
ってもよい。 例えば,
x=4, y=-7でもよい。
a,bが互いに素で, an
が6の倍数ならば,nは
6の倍数である。
(a,b, nは整数)
PAT
【下の注意 参照。
|19x-24y=1
19・(-5)-24・(-4)=1
を辺々引いて
19(x+5)-24(y+4)=0

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ゆう

x+1=5kとおいて、それを③の式に代入して整理したらy-2=-9kになるからです

nanatu

とても納得できました！ありがとうございます

Answer 2

me

解は無限に存在するからkという文字を使わないと解を表せないため

Answer 3

user

うーん、代入したらyでもkについての方程式ができるからとしかいえない..