Question

らむ

(2)の考え方が分かりません...
なぜ接する時のkの値が最小値になっているのですか？？

週 58
領域における最大・最小 (パラメータ入り)
●
次の連立不等式の表す領域をDとする.
[ x² + y²−1≤0
[x+2y-2≦0
このとき,次の問いに答えよ.
(1) 領域Dを図示せよ.
(2) αを実数とする. 点(x,y) がDを動くとき, ax+yの最小値をαを用
いて表せ.
(3) αを実数とする. 点 (x,y) がDを動くとき, ax+yの最大値をaを用
いて表せ.
(広島大)
精講
今度も領域における最大・最小問題
ですが、関数の中にパラメータαが
入っています.ax+y=k とおき,この
直線と領域 D が共有点をもつ
ためのんの条件を求める方針は同じです. この直
線の傾き -αの値がどのような範囲にあるかで
最大・最小となる点の位置が変わるので, α の値
による場合分けが必要になります. それぞれの範
囲の中で
最大・最小となる点が領域Dに存在する
ことを確かめながら最大値、最小値を求めていき
ましょう.演習問題58 では,領域を表す不
等式の中にパラメータαが入っている問題を拾っ
ておきました.
(1)
D:
解答
3)=0
EN 127
解法のプロセス
領域Dにおけるf(x,y, a)
の最大値、最小値
x²+y²-1≤0
x+2y-2≦0
円x2+y2=1･①と直線 x+2y-2=0.② の交点は
(2-2y)2+y2=1
‥. 5y²-8y+3=0
y=1,
f(x,y, a)=k とおく
f(x,y, a)=kと領域Dが共
有点をもつ条件をαの値で場合
分けしながら求める
3
5

X
128 第3章 図形と方程式
4
.: A(0, 1), B(3) tas
5
よって,領域Dは右図の斜線部分となる. 境界も含む.
(2) ax+y=k………③ とおき,直線③が領域 D と共有点
をもつときのんの最小値を求める .
直線 ③ が円 ① に接する条件は
であるから
中心と直線③との距離=半径
1-kl
√a²+1²
.. k=±√a²+1
k=-√²+1
k-o'-I のとき、直線 ③
=1
-
標(=a
標は
k' k
接点のy座標は負であるから, 接点はD内にある.
③の傾きαの値により最大値を分類すると
4
4
(i) -as-13 (すなわちai) のとき
-a≦-
よって 求める最小値は
-√a²+1
(3)の最大値をMとおく. 点A,Bにおける円の接線 傾き
の傾きはそれぞれ 0, -であることに注意して,直線
M=
k
である。
jest)
√a²+1
③が第1象限で①点 (21) で接する
a²+1' √a²+1
ときは最大となる. よって
a
17
M=a.
a² ²+
√a²+1 √a²+1
-a+
3
5
1
y=1でもあり、接点の
a
4
12/11/12 (すなわち 01/12
M-AM
/4/3)のとき
3
③が点B(153,2323)を通るとき,kは最大となる.よって
=√√a²+1
xox+yoy=1 l_x²+y²=\_\
上の点 (No, yo) における一
の方程式である
1/22-10 (すなわちOsas/1/2) のとき
③が点A(0, 1) を通るとき, kは最大となる
M=0g+1=1
7
YA
82 (4
傾き

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

tomo

分かりずらかったら遠慮なく言ってください

らむ

第2、第3象限のどこかで接する時最小値になるということでしょうか？

tomo

ax+y=kをどんどん下に移動させて行って共有点を持つギリギリの所が接している時っていうイメージです。

らむ

最後にお聞きしたいのですが、

①と③が接し、かつk=-√a^2+1 となる 条件が、「ax+y=kをどんどん下に移動させて行って共有点を持つギリギリの所が接している時」という条件を含んでいるという解釈で大丈夫でしょうか？
質問ばかりですみません！

tomo

そうですね。勉強頑張ってください💪

らむ

ありがとうございました！