Question

り

円x^2 + y^2 -10x + 16 = 0と、
原点を通る直線y = kx (kは定数)について、
2点で交わる場合に交点をA,Bとおく
原点Oからそれらまでの距離の積OA×OBが
一定値であることを示しなさい。

という問題を教えてください💦
ちなみに一定値は16になって、解と係数との関係を用いるみたいです…

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

きょん

x^2 + y^2 -10x + 16 = 0を整理して
(x-5)^2+y^2=9

つまり中心は(5,0)となります。
直線と点の距離は
|5k|/√1+k^2

2点で交わるためには、

|5k|/√1+k^2<3

二乗して整理すると
25k^2<9(1+k^2)
16k^2<9
-3/4<k<3/4

ここからが本番です。
距離の積をやるためには、それぞれの点の座標を求めて三平方の定理を使う必要があります。

√(Aのx座標)^2+(Aのy座標)^2
×√(Bのx座標)^2+(Bのy座標)^2

ここで、y座標はy=kxから求められるので
√(Aのx座標)^2+(k×Aのx座標)^2
×√(Bのx座標)^2+(k×Bのx座標)^2

整理すると
(k^2+1)
×√(Aのx座標)^2
×√(Bのx座標)^2

√をとって
(k^2+1)
×|(Aのx座標)(Bのx座標)|

となります。なので、|(Aのx座標)(Bのx座標)|が定数と言えればokです。

x^2 + y^2 -10x + 16 = 0にy=kxを代入して
(k^2+1)x^2-10x+16=0

解と係数の関係をつかえば、x座標の積は
16/(k^2+1)

これは正の値なので絶対値はそのまま外れます。
したがって
(k^2+1)× 16/(k^2+1)=16

となり定数となることが示せました。

り

すごく分かりやすかったです✨
ありがとうございました!!