418 第8章 整数の性質
例題 239
考え方
解
***
合同式の利用(3) 問合
su
(1) すべての自然数nについて, 9" +4+1は5の倍数であることを証
明せよ.
(2) すべての自然数nについて, 2n+1+32n-1 は 7の倍数であること
を証明せよ.
(mbom)
FORT
(1)9≡4(mod5) であるから, 合同式の性質 α"=6" (modm)より,
94" (mod5) がいえる.
(2) 2=9(mod7) に着目し,合同式の性質を利用できるように式を変形する。
Move!
01 00 08 01 O(S)
(1) 9"+4n+1=9"+4•4"
94 (mod5) であり, nは自然数であるから,
9"=4" (mod 5) 1
331 11
がいる.
① より 9 +4•4"=4"+4・4"
anでくくっていbot) pposu
000S+2.
($1 bom) ==²8 33
ここで,4"+4•4"=(1+4)・4"=5・4"より,=8-88=8
(SI Bour) & 8 9"+4+4" 5.4" =0 (mod 5) 88=8+8==='8
g-g="8
(Sibara よって,すべての自然数nについて 9" +4" +1 は5の
倍数である.
(2) 2+1+32n-1P とおく.
(SIbom) 88 (SI born) pg 1003433+1
2n+1=22.2n-1=4.27-100m)
また,32n-1=3・32n-2Fbom
=3・32(n-1)=3・97-1 より,
P=4・21+3・9-1 ...... ①
01 0001S0001 (med)
(32)^-1
ⓘ32"-2
=9n-1
ここで,92 (mod7) より 9-12-1 (mod7) boma=b(modm)
α"=6" (modm)
(Orbom したがって, ①より, P=4.2" +3.2"-1 (mod7)
さらに, 4・2"-' +3・2"-1=(4+3) ・2"-1)
ED
7.2より
P=0 (mod 7) (01bom) ep ,010,303
以上から,すべての自然数nについて 2+1+321
は7の倍数である.
a-e=bid (nlodm)
