をも~
重要 例題
51 2次式の因数分解 (2) ①①①①①
4x2+7xy-2y2-5x+8y+kがx,yの1次式の積に因数分解できるように,
定数kの値を定めよ。また,そのときの因数分解の結果を求めよ。〔類 創価大]
基本 20,46
CHART O OLUTION
解答
(与式)=0とおいた方程式をxの2次方程式とみて
4x2+(7y-5)x-2y²-8y-k)=0
の判別式をDとすると
2次式の因数分解 =0 とおいた2次方程式の解を利用
(与式)=0とおいた方程式をxの2次方程式とみたとき (yを定数とみる), 判別
式をDとすると、与式はx=(7y-5)+√D}{x-(7y-5)-D} の形
8
8
に因数分解される。D1はyの2次式であり,このときの因数がx,yの1次式と
なるための条件は
Diyの1次式⇔ D1 が完全平方式 ･･････・
すなわち D=0 として, この2次方程式の判別式 D2 が 0 となればよい。
D=(7y-5)2+4•4(2y²-8y-k)=81y²-198y+25-16k
与式がxとyの1次式の積に分解されるための条件は,① の解
がyの1次式となること,すなわち D がyの完全平方式とな
ることである。
D=0 とおいたyの2次方程式 81y²-198y+25-16A=0 の
判別式をD2 とすると
4
D2=0 となればよいから 96 +16k=0 よって k=-6
このとき, D=81y²-198y+121=(9y-11)2 であるから, ①
の解は
X=
D2=(-99)2-81(25-16k)=81{11²-(25-16k)}=81(96+16k) 計算を工夫すると
992=(9.11)^2=81･112
__(7y-5)±√(9y-11)-(7y-5)±(9y-11)
すなわち
ゆえに
8
x=y-3
8
-2y+2
"
4
(与式)=4(x-2=3){x-(-2y+2)}
=(4x-y+3)(x+2y-2)
if 恒等式の考えにより
[解く方法もある。 (解答編
および p.55 EXERCISES
15 参照 )
JEN
◆ Di が完全平方式 ⇔
2次方程式 D1=0 が重
解をもつ
20 Jet
√(9y-11)^=|9y-11|
であるが、土がついて
いるから, 9y-11の絶
対値ははずしてよい。
括弧の前の4を忘れな
いように。
PRACTICE･･･ 51
kを定数とする2次式x+3xy+2y²-3x-5y+kがx,yの1次式の積に因数分解
できるときkの値を求めよ。 また、そのときの因数分解の結果を求めよ。
[東京薬大]
2
