Question

ぱろ

横浜国立大学2019年度数学第3問です。
微積の問題ですが、解答(写真3枚目)の
②の下の部分(だから②を満たす〜)が理解できません
よろしくお願いします🙇

横浜国立大文系前期
2019年度 数学 13
3実数a に対し,xy平面上の曲線y=x-axをCとする。 C上の異なる2点
Pi, P2 と,2つの直線l1,l2 があり,k=1,2に対して以下の条件をみたして
いる｡
(i) Pk のx座標は正である。
(ii) lkはPkを通り,さらにPにおけるCの接線と直交する。
(& OSD)
(ii) lk は Ph以外の点でCと接する。
次の問いに答えよ。
(1) α のとり得る値の範囲を求めよ。 nidt folgo05
(2) k=1,2に対して, Chlによって囲まれる部分の面積をSkとする。
S + S2をaの式で表せ。
お店
AAN*# 2409-13 (noitubab)
105 050AROROJ1-08 x 081 #(, +5)
*****-.84*** Golbat)
******* *823-1-1
.849087-JOEN
* >**(guinoesen is jo

3 解答
(5,827
(1)y=x-axを微分して,y'=3x² -a だから, 点
35
-= IMMI
OLMANTAS
(
(t-at) におけるCの接線は
y=(3t²-a)(x-t) +t³-at
:: y=(3t²-a)x-2t³ .....1 =VOW+MO(3-1)=90
この接線とCとの共有点のx座標は
x³-ax=(3t²-a)x-2t³
309 3.81183
10)+102 +00(3-2-1)=90
‥. x3 -3t2x+2t°= 0
を満たす。x=tで接するので, 左辺を因数分解して､
(x-t)^(x+2t)=0
となる。 したがって, 共有点のx座標は x=-2t
点Pのx座標を x=-2t とするとこの点におけるCの接線の傾きは
S
(12SOS ties

横浜国立大文系前期
3(-2t)²-a
である。 条件(i) より -2t>0
さらに,この接線と①が垂直となるのは
{3(-2t)^-a}×(3tº-α)=-1
のときであり,この式を変形して
(12t²-a) (3t²-a)=-1 ...2
だから、②を満たす (0) が2つ存在するときのaの値の範囲が,求
めるαのとり得る値の範囲である。以下でこれを求める。
②を満たすt(<0) が2つ存在する
⇔ (12T-a)(3T-α) +1=0 を満たす T (>0) が2つ存在する
2次方程式 3672-15aT+α²+1=0が正の解を2つもつ
ここで
f(T)=367-15aT+α°+1=36(T-240)-1/60°+1
2次方程式f(T)=0 の判別式をDとおくと
③⇔f(0)>0, D> 0, 軸について
24
.. a <
4 4
3'3
.. t<0
よって眠抄桑泉 土間の
a²+1>0, D=(-15a)²-4×36(a²+1)>0, a>0 ATAS
(S)
4
-<a
以上より
(
(2) Pkのx座標を-2th とすると
<a かつα>
=
2019年度 数学<解答> 39
-2tk
x-ax- (3th²-a)x+2th²=(x+2tk(x-tk)2
= -√2¹ (x+2th) (x-tu)²dx
SER
==
9
500 t
a>0
(-a)-xh(-x)(0-01
より, th≦x≦-2k, (x+2tk) (x-tk)2 ≧0であるから
- 2tk
Sn=f²¹ ((3t²-a)x-2t³ - (x³ -ax)}dx
tk
4
-tkª
27
-{(-2th)-th}^=
12
4
さらに、2²は2次方程式 36T²-15aT+α²+1=0の2解だから、解

数学 微分 積分

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

でど

「はじき」です