Question

了先生划船子孑孓孑孓⋯

遞迴數列

數列〈〉 滿足 arr = an+1-a,且 a = 1,a = 2,求 ago =
a101

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

可知

特徵方程式是 x² = x–1
x²–x+1=0
x = (1 ± √–3)/2 是共軛虛根，

這表示一般解其實跟三角函數的sin與cos有關。

簡單來說，就是an的遞迴關係式有正、餘弦波的模型，代表具有週期性。

因為 a1 ~ a9分別是（一個個的列出來發現的）
(1、2、1、–1、–2、–1)、1、2、1……
剛好是6個一循環，就可以回答題目了。

如果再根據困難的二階遞迴關係理論，
an的一般解就是呢：
an = √3sin(nπ/3) – cos(nπ/3), n=1,2,3,4......。

可知

因為 10÷6=1……4
所以 a10=–1。

因為101÷6=16……5
所以 a101 = a5 = –2。