Question

たたた

写真の(2)の問題の、赤枠の部分についてですが、
「このとき、極限値が0であるので、1-a²=0」と書かれていますが、1-a²=0のとき、0・xは、lim(x)→∞より、0・∞となり、不定形になってしまうと思うのですが、分子に不定形が出てきても、大丈夫なのでしょうか？

次の式をみたす α bの値を求めよ.
a√x2+2x+8+6_3
x-2
(2) lim{vr²-2x+4-(ax+b)}=0
(1) lim
→2
x18
→8
△△X
√(x-2)² = 00² € 6x=
87
(2) lim√²-2x+4=+∞ だから, 与式が成りたつためには,少なく
与式が0に収束するための最低条件
とも, a>0. このとき
X18
=lim
x18
lim{vx²-2x+4-(ax+b)}
=lim
x18
lim
x18
=
4
AAA
{vx2-2x+4(ax+b)}{vr-2x+4+(ax+b)}
√²-2x+4+(ax+b)
(1-a²)x²−2(1+ab)x+4−b²
√√x²-2x+4+ax+b
与式の左辺=lim
となり確かに適する.
(1-a²)x-2(1+ ab) +-
4-62
X
2 4
+
IC x²
この極限値が0になるので, 1-d²=0, a>0 より α=1
このとき, ①式=(1+b=0
b=-1
逆に, α=1,b=-Ⅰ のとき,
3
→∞ √√x²-2x+4+x−1
+a+
b
IC
分になるためには
各項が0になる必要がある
= 0
[x→+∞ より
x>0 と考えてよい
◆吟味

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

あ

分子が0になるという話はb の値を決めるときの話で、aについては関係ありません。

たたた

なぜ、bの値を決めるときの話で、aについては関係ないのですか？

あ

aの値は分子が∞に発散しないような値を求めています。
また、分子が∞に発散しないときに分子が0になるような値をbで求めています。

Answer 2

あ

分子の各項というか、(1-a^2 )xだけですね。
(1-a^2)が0ではないとき、(1-a^2)x→∞となりこの式が∞に発散してしまいます。(分母が1+aに収束するので)
よって、1-a^2=0とすることで、あえて不定形にして、発散しない可能性のパターンについて考えているということです。

Answer 3

あ

このままだと発散してしまうので、不定形の形に一旦持っていくことで、不定形が解消され収束する可能性のあるパターンがありえるようにしています。(極限の問題で、本来なら∞/∞となる所を両辺をn^2で割ることで不定形を解消する問題などはやったことがあると思います。)
最後のチェックは本当に不定形が解消されたのかの確認ですね。

たたた

分母が1+aより、この式が0に収束するためには、
分子が0でなければならない。つまり、分子の各項が0となればよい。(1-a²)xが0になるためには、
lim(x)→∞より、少なくとも、1-a²=0となる必要があるということですか？