Question

まな

この問題，初期段階でx=tanθ遠くそうなのですが，なぜそうするのでしょうか？

1
(1) 「
1
1+x²
-dx
ア
である。

積分 定積分 不定積分 数ii

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑒

結論,そう置くと上手くいくからです.
x=tanθの置換でdx＝1/cos²θとなり,
1+x²＝1/cos²θなので,これと合わせると1/cos²θが相殺されます.
～～～～～～～～～～
・∫{1/(1+x²)}dx型
→x=tanθと置換
・∫{1/√(1-x²)}dx型
→x=sinθ又はx=cosθと置換
・∫{1/√(1+x²)}dx型
→x=(eᵗ-e⁻ᵗ)/2,又はt=x+√(x²+1)と置換
・∫{1/f(sinx,cosx)}dx型
→x=tan(θ/2)と置換

𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑒

×
・∫{1/f(sinx,cosx)}dx型
→x=tan(θ/2)と置換
○
・∫{1/f(sinx,cosx)}dx型
→t=tan(x/2)と置換

まな

ありがとうございます！
理解できました！

Answer 2

MR

1+tan²x=1/cos²x の公式できれいになるかな
と思うからです。

まな

ありがとうございます！
理解できました！

Answer 3

るいと

こんな感じでどうでしょうか？

るいと

置換積分はだいたいパラメータを介して結びついています。
双曲線や楕円の積分も同様にしてパラメータ表示▶︎積分が可能で、このパラメータ表示が今回の場合x＝tanθであったわけです

まな

ありがとうございます！
理解できました！