Question

りゅう

なぜ3K➕1
3K➕2になるのかどんなに見てもわからないです、、

3K➕1でK＝1を代入した時N＝4となり、5以上の時と
か？？

こと
基本114
を
3つの
2に対
なるな
に対
なる。
2の
117 3つの数がすべて素数となる条件
13 要 例題
を自然数とする。 n, n +2, n+4がすべて素数となるのはn=3 の場合
n
だけであることを示せ。
[ 早稲田大〕
CHART O
8414
SOLUTION
方針が立てにくい問題
数値を代入して見当をつける
本問の場合、命題が成り立つことを証明す
るために何を示せばよいか, 方針を立てる
のが難しい。 そこで, 5以上の素数nにつ
いて,n+2,n+4の値を調べてみると右の
表のようになり, n +2またはn+4が3の倍数であると見当がつく。
よって, 5以上の素数nについては, n=3k+1, 3k+2の場合に分けて,n+2,
n+4のどちらかが素数にならないことを示せばよい。
|基本 113
n 5 7 11 13
17
19
n+2
7 9
13 15 19
21
n+4
99 11 15 17 21 23
解答
nが素数である場合について考えればよい。
n=2のとき n+2=4, n+4=6 は素数ではない。
n=3のとき n+2=5,n+4=7 も素数である。
nが5以上の素数であるとき, nは自然数kを用いて
3k+1 または 3k+2
と表される。
[1] n=3k+1 のとき n+2=(3k+1)+2=3(k+1)
k+1は2以上の自然数であるから, n +2 は素数ではない。
[2] n=3k+2 のとき
n+4=(3k+2)+4=3(k+2)
k+2は3以上の自然数であるから, n +4 は素数ではない。
よって、nが5以上の素数であるとき, n +2 または n +4 は素
数ではない。
n=2, 3, 5, 7,
◆素数nは3の倍数でな
い。 また
k=1, 2, 3,
3・1=3 は素数であるか
ら、
の断りは重要。
以上から, n, n+2, n +4 がすべて素数となるのは n=3 の場
だけである。
n=2のとき n+4=6が3の倍数であるから,これを含めて「nが3以外の素数
であるとき, n +2 またはn +4が3の倍数である」 ことを示してもよい。
ただし, その場合はn=3k-1,3k+1 (kは自然数) のようにしないと n=2の
場合が表せなくなるので, 注意が必要である。
すべて求めよ。
415
4章
14
整数の割り算と商余り
・ある
・あ
と
数に
返す
C
が
C
れ
る
れ
進
う

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

TAA

集合の考え方を使って整理すれば理解できます。この考え方は、あらゆる問題においてわからなくなったときに使えるので、丁寧に解説しました。

ベン図を用いて集合の構造を捉えると、n=5以上の自然数において

Aは素数かつ3k+1,3k+2

Bは合成数かつ3k+1,3k+2

Cは合成数かつ3k

の集合とします。ベン図をよく見ると3k+1,3k+2の集合の中に素数の集合がすっぽり入っているので、

素数⇒3k+1,3k+2
(十分条件⇒必要条件)

となるので、「n=5以上のとき、全ての素数は3k+1,3k+2とかける」ということがいえます。

今回かなり丁寧に解説しましたが、慣れれば頭の中で瞬時にこの考え方ができるようになります。今回は簡単でしたが、問題がより複雑になってもこのベン図を使って整理すればかなりスッキリします。

一応説明しておきますが、今回なぜ3k,3k+1,3k+2と置いたかというと、

値を代入すればわかるのですが、n=5以上のとき「必ずどれかが3の倍数になる」からです。

3の倍数を証明するときや、3で割った余りが出ることを証明するときは3k,3k+1,3k+2とおくと大抵全てうまくいきます。

4のときは4k,4k+1,4k+2,4k+3とおきます。

りゅう

ありがとうございました！