Question

ゆき

解説見ても全然わからないです(>_<)
詳しい解き方を教えてください🙇‍♀️

問 5. nは自然数とする。 1からnまでの自然数で, n と互いに素であるものの個数をf(n) と
(ナ) (-=-)
(ヌ) 組あり、そのうち最も大きいのは (ネ)
すると, f (85)=
の組は全部で
である。 また f (pg) = 120 となる2つの素数p,q (p <q)
(ノ) である。

【問5. (前半) 1から85 までの自然数で 85 と互いに素であるものは
to bu
85=5×17より, 1から85までの自然数で5でも17でも割り切れないも
153472
のである。
1から85までの自然数のうち, 5で割り切れるもの全体の集合を A. 17
で割り切れるもの全体の集合をBとすると
28THIMC
A={5n|1≦x≦17 かつnは自然数} より
B={17n|1≦n≦5 かつnは自然数} より
A∩B={85} より n(A∩B)=1
n(A)=171O
n (B) = 5
85-21=64
DIMO SE
よって
n (AUB) =n(A)+n(B)-n (A∩B)=21
したがって,1から85までの自然数で5でも17でも割り切れないものの
個数は
よって
f (85) = 64 →(ナ)(二)
FUT
(後半) p, g は素数であるからとは互いに素であり、でもでも
割り切れる数は pg のみである。 したがって, (前半) と同様に2つの素数
pg (pg)に対して
CEUCH

f (pq)=pq - (q+p-1)
=pa-p-g+1
=(p-1)(q-1)
題意より
(p-1) (q-1) = 120
(p-1) (q-1)=2³×3×5
EXXX
p=2 と仮定すると, g-1=120 より g=121=112
EXP
これは q が素数であることに矛盾する。
よって,2<p<g より p-1もg-1 も偶数である。
(i) (-1,-1)=(2,22×3×5 = (260) のとき
(p,q)=(3,61)
(i)(p-1, g-1)=(2,2×3×5 = (4,30) のとき
(p, q) = (5. 31)
(iii) (p-1, q-1) = (2x3, 2²x5)= (6, 20)
(p, q) = (7, 21)
これは不適。
xx8 18
D3
(iv) (p-1,q-1)=(2x5, 22×3 (1012) のとき
(p,g) = (11,13)
-
1610
(i)~(iv) より.f (pg) =120となる2つの素数p.gpg) の組は全部で3
組あり、そのうち最も大きい は61である。一(ヌ)~(ノ)

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ベン

続きます

ベン

難しい問題だからって皆さん質問に答えてあげてないの可哀想ですよね！笑

とりあえず解説書きましたがいかがでしょうか。
f(n)が何を意味するのか把握する、互いに素とはどういうことか理解する、整数問題は(カッコ)❎(カッコ)＝整数はメジャーな攻め方なので使える様にする。

ポイントはこの辺でしょうかね

不明点あれば遠慮なく質問どうぞ👍

ゆき

とても丁寧にありがとうございます!!
分かりやすいです！ありがとうございます😭