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Hr

<1>(2)の線を引いたところをどこから導いたのか、<2>(1)の考え方を解説お願いします🙇🏻‍♀️書き込みは無視してください

数学Ⅰ・数学A
第4問 (選択問題) (配点20)
〔1〕
(1) 不定方程式
と表せる。
第3問~第5問は,いずれか2問を選択し、 解答しなさい。
(2(x-8)-19 (2-3) ₂0
(2) 整数 s, tを用いて
ウエ s+
2=
12x-19y=1
を満たす整数x,yの組のうち、 xが正で最小になるものは
x= ア
y=
イ
であるから,この不定方程式の整数解はんを整数として
x= ウエ k+
ア
y=オカ k+
イ
と表せる。
x-8=19k
27.
46
tuakts
osi
=
オカ t+
12.24 36 4860728496
1938577695
ア
と表せる整数zについて考える。
このように表せる整数のうち, 正で最小のものはキクである。 また,
このように表せる整数zをすべて求めると, uを整数として
z= ケコサu+ キク
29
84 549
塩
イ
A
?
(4
x4
736
(数学Ⅰ・数学A 第4問は次ページに続く。)
7° 1977
10198
730
105
416
62
38
57
+ & t&
数学Ⅰ・数学A
〔2〕
自然数Nは7進法で9桁で表されるとする。 Nを7進法で表したときに,
*上から3桁ずつ区切って得られる数を順にa,b,c とする。
たとえば,N=123456012 (7) とするとa=123(n)=66,6=456=237,
c=12 (7)=9である
(1)a+b+cが2の倍数であれば, a,b,cの値にかかわらずNは2の倍数
であることを証明しよう。
まず, Nはa,b,c を用いて
図+6×7
N=ax70
+c
と表せる。 また仮定より, 整数dを用いて a+b+c=2d と表せる。 このこ
とから
N=2{d+ センタ (344a+b)}る
となるので, Nは2の倍数である。
DAS
(2) (1) の証明と同じ方法を用いると, a+b+cが2以外の倍数のときでも,
同じ方法で倍数を判定できるものがある。
を2以上の整数として,次の命題を考える。
OPI
・命題
a+b+cmの倍数であれば, a, b,cの値にかかわらずNはmの
倍数である。
I
命題が真となるようなmのうち, 素数であるものはm=2,
ツテである。また, 命題が真となるような2以上の整数mは, (1) で証明し
たm=2のときも含めて, 全部でトナ個ある。
27
チ

(2)
y = 4²4
〔1〕 (1)
12x-19y=1 ......①
19=12+7であるから, ① は
12(x-y)-7y=1
のように変形できる。
この式から
x-y=3, y=5
すなわち
x=8, y=5
が①を満たすことが分かるので
12・8-19・5=1 ......②
が成り立つ。
① - ② より
12(x-8)-19(y-5)=0
12(x-8)=19(y-5)
となる. 12 19 は互いに素であるから, 不定方
程式 ① の整数解は整数kを用いて
x-8=19k, y-5=12k
x=19k+8, y=12k+5
30
と表せる.
したがって不定方程式 ① の整数解のうち、 xが
正の整数で最小になるのはん=0のときの
x=8, y=5
であり, 不定方程式 ① の整数解はんを整数として
x=19k+8, y=12k+5
と表せる.
mm
(2) s, tを整数として
RSS f=5+d
z=19s+8=12t+5
と表せる整数zについて考える。そのためにまず
19s+8=12t+5
を満たす整数 s, tの組を求める.
この式は
12t-19s=3 ......④
と変形できるので, ④②×3より
12 (t-24)-19(s-15)=0
12(t-24)=19(s-15)
となる。 12 19 は互いに素であるから, 不定方
程式④の整数解は, 整数 μ' を用いて
s-15=12u', t-24=19u'
s=12u'+15,
と表せる.
また, u=u'+1 とおくことで
s=12u+3, t=19u+5
とも表せる.
s=12u+3を③に代入すると
z=19s+8
t=19ω'+24 間
=19(12u+3)+8
=228u+65
となる.
したがって, ③を満たす整数zのうち,正で最
小となるのはu=0のときの65である.また,
③を満たすをすべて求めると, uを整数として
JOH:3
z=228u+65
と表せる。
|補足
(1) ① を満たす整数解の一つは, ① から即座に
x=8,y=5と見つけられれば変形する必要はな
い。
一方で, 12(x-y) -7y=1を満たすx,yの組
が見つけられない場合は, 12=7+5 であること
から
5(x-y)+7(x-2y)=1
とさらに変形すると見つけやすくなるだろう.
AXTA
この式から
F
x-y=3, |x-2y=-2
すなわち
|x=8, y=5
が①を満たすことが分かる.
〔2〕 (17進法で表されたNはa,b,c を用
いて
*N=ax76+bx7³ +c. (*)
と表せる.
また仮定より, dを整数としてa+b+c=2d
と表せるので, c=2d-a-b を(*) に代入して
N=ax76 +bx7³ +c
"=ax76+ 6×73+ ( 2d-a-b)
=2d+(76−1)a+(7³ − 1)b
=2d+(7³−1){(7³+1)a+b}
と変
よ倍
の倍
(2)
Ta
(*
が復
3.
得る
ma
十
の
で命はよべ
あ
ネ
(1
J

=2d+342(344a+b)
=2{d+171(344a+b)}
と変形できる .
よって, a+b+cが2の倍数のとき,Nは2
の倍数であることが分かる.
(2)a+b+cがmの倍数のとき, dを整数とし
てa+b+c = md と表せるので, c=md-a-b
(*) に代入することで
N=ax76+bx7³ +c
=ax76 +bx7³ +md-a-b
=md+(76-1)a+(7³-1) b
=md+342(344a+b)
が得られる.
344a+b は a, bの値によって様々な値をとり
得るので, a, b, c の値にかかわらず
md +342(344a+b) がmの倍数になるための必要
十分条件は,342 がmの倍数, すなわちmが342
の正の約数となることである 補足参照).
342=2×32×19 ① BAR
ある。
であることとmが2以上の整数であることから,
命題が真となるようなmのうち, 素数であるもの
は 2,3, 19 の3個ある。 また, 命題が真となる
ようなmは,342の正の約数のうち, 1以外のす
べてであるから, その個数は
(1+1)・(2+1)・(1+1)-1=11 (個)
|補足
(1) 10進法の場合, 数を10倍すると各位は1桁
上がり、末尾に0が一つ付く。 100 (=102) 倍す
ると各位は2桁上がり, 末尾に0が二つ付く.
これを踏まえると,たとえば10進法で9桁の
数 123456789 は
123456789
=123000000+ 456000 +789
=123×10°+456 × 10 +789
と表すことができる.
同様にして進法の場合,数をn倍すると各位
は1桁上がり²倍すると各桁は2桁上がる.
たとえば,n=7として, 7進法で9桁の数
123456012 (7) は
123456012 (7) 大量
=123000000(7) +456000(7) +12 (7)
=123 (7) ×7+456 (7) ×78 +12 (7)
と表すことができる.
(2) 具体例を挙げて考えてみる。 7進法で表され
た二つの数 N1, N2 を
(N=100 001 063 (7)
N2=100002-062 (7)
で定める.
N では α=100(7)=49,6=1(7)=1,c=63(z)=45
であり, №2 は a=100(7)=49,6=2(7)=2,
c=62(z)=44 である。 いずれの場合も
a+b+c=95 である
また, Nでは344a+b=16857 であり, N2 で
は 344a+b=16858 である. 16857 と 16858 は差
が1であるから互いに素である.そのため,
342×16857 342×16858がどちらも (≧2)
割り切れるための必要十分条件は, 342がmで割
り切れることである。 実際, 95=19×5,
342=19×18 より m=19 とすれば, N1, N2 も
m (19) の倍数であるといえる。
基礎事項の確認|
◆ [1] の基礎事項
1° 《ユークリッドの互除法》
2つの自然数a,b (a>b) があり, αを6で
割った余りをnとする。 このとき
(aとbの最大公約数) = (bとnの最大公約数)
が成り立つ。
さらにn=0ならば, bをnで割った余りを
2 とすると
(bnの最大公約数)=(nとの最大公約数)
が成り立つ。
aとbの最大公約数がすぐにはわからない場合,
このように割り算を繰り返して, 小さい数同士の
最大公約数に帰着することができる。 このように
して最大公約数を求める方法をユークリッドの互
除法という.