例題 15 方程式
の解
極形式を用いて, 方程式2=1 を解け。
指針 次の手順で考えていくとよい。
① 解を=r (cos0+ isin0) [r0] とする｡
②2 方程式2=1の左辺と右辺を極形式で表す。
CHART 複素数の累乗には
また
解答
解をzr (coso+isin0) [r>0] とすると
[3] 両辺の絶対値と偏角を比較する。 ・・・･・・・･・ ①
4 の絶対値と偏角の値を求める。0は0502の範囲にあるものを書き上げる。
²°=r(cos60+isin60)
1=cos 0+isin0
(cos 60 + isin60) = cos0+isin 0
① 両辺の絶対値と偏角を比較すると
ro=1. 60=2k(kは整数)
また
>0であるから
k
r=1
k
ド・モアブルの定理
(cosO+isin("=cosn0+isin n0
z=cos+isin......
よって
002の範囲で考えると
k = 0, 1,2,3,4,5
① で k=l(l=0, 1 2 3 4 5) としたときのとすると
Zo=cos0+isin0=1,
したがって 求める解は
π
/3
21-cos+isin = 1+1
3
2
0=1²3 r
8=
2₁= cos x+isinx=-12+¹2%.
23 = cosx+isinz= -1,
z= cos x+isin x=-12-√31.
COS
5
①
5
2008/13tisin 1/17-12-1221
√3
25 = COS
R=
3
■P.29 基本事項 [2]
z= ±1 ±
i
+1+¹/3;
土 ・i
2
2
00000
重要 17.19.
ド・モアブルの定理。
1を極形式で表す。
z=1 の両辺を極形式で
した。
(検討
2-10から
(z+1)(z-1)(z²+z+1)
x(z-z+1)=0
このように, 因数分解を利
して解くこともできる。
なお,解を複素数平面上に
示すると、 単位円に内接す
正六角形の頂点となってい
また、
が成り立つ
→ p.36, 37 の参考事項も
照。
y4
