Question

れの

青チャート例題195(2)で平均変化率が微分で表せる理由を教えて下さい。

(49-2-4.9-22)-(49-1-4.9-12)
=34.3(m/s)
2-1
(イ) t秒後の瞬間の速さはんの時刻に対する変化率であ
dh
る。 hをtで微分すると
=49-9.8t
dt
求める瞬間の速さは, t=2 として
49-9.8.2=29.4(m/s)
(2) t秒後の球の半径は (10+t) cm である。
t秒後の球の体積をV cm とすると V= π(10+t)³
dV 4
Vをtで微分して
-ñ·3(10+t)²·1=4π(10+t)²
dt
求める変化率は, t=5として 4π(10+5)²=9007 (cm³/s)
=
tがaから6まで変化さ
ときの関数f(t)の平均
化率は
b-a
dh
dt
参照。 h' =49-9.8t と
dh
dt
については、下の
てもよいが,
と書くる
関数をtで微分してい
ることが式から伝わる。
{(ax+b)"}'
=n(ax+b)^2(ax+b)
注意 変数がx,y以外の文字で表されている場合にも,導関数は今までと同様に取り扱う。 例え
ば,関数h = f(t) の導関数 f'(t) ch, carf(t) などで表す。また,この導関数を求めるこ
dt' dt
とを,変数を明示してんをtで微分するということがある。
③124
$125
③12
F

No.
00000
基本例題 195 変化率
(1) 地上から真上に初速度 49 m/s で投げ上げられた物体のt秒後の高さんは
h=49t-4.9t²(m) で与えられる。この運動について次のものを求めよ。ただ
し, um/sは秒速vmを意味する。
(ア) 1秒後から2秒後までの平均の速さ
(イ) 2秒後の瞬間の速さ
(2) 半径10cm の球がある。 毎秒1cm の割合で球の半径が大きくなっていくと
球の体積の5秒後における変化率を求めよ。
p.26 基本事項 ①)
指針 (1) 高さんは時刻tの関数と考えることができる。 h=f(t)=49t-4.9t2 とする。
(ア)平均の速さとは, 平均変化率と同じこと。 (hの変化量) ÷ (tの変化量)を計算。
(イ) 2秒後の瞬間の速さを求めるには, 2秒後から2+6秒後までの平均の速さ (平均
変化率)を求め, 60 のときの極限値を求めればよい。 つまり、 微分係数 f'(2) が
t=2 における瞬間の速さである。
(2) まず,体積Vを時刻tの関数で表す。これを V=f(t) とすると, 5秒後の変化率は
t=5における微分係数 f'(5) である。
Ex
③ 122 次の
(1)
(3)
③ 123 (1)
(2)
(3)

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

カルロス

> (2)で平均変化率が微分で表せる理由

「平均変化率が微分で表せる」という記述は見当たらなかったのですが、どこからそうご判断されましたか？

れの

ここの部分です。

カルロス

つまりdV/dtを平均変化率と解釈されたということかと思いますが、dV/dtが平均変化率であるというのはどこからですか？

れの

t=5を代入した時に解となるので平均変化率だと考えました。

カルロス

その理屈でいくと（1）（イ）のdh/dt(2)も平均変化率になりますが、これも平均変化率であるとお考えですか？

れの

そうだと思いました。

カルロス

なぜそう思われたのかわかりませんが間違ってます。平均変化率と瞬間変化率（瞬間の速さなど）は違うものです。

れの

何回もすみません。返答ありがとうございます🙇💦
では(1)のイと(2)はどちらも平均変化率ではなく瞬間変化率を求めていて
瞬間変化率=微分ということでしょうか？

カルロス

> (1)のイと(2)はどちらも平均変化率ではなく瞬間変化率を求めていて

はい、(1)のイは「2秒後の瞬間の速さは？」という問題ですが、

2秒後の瞬間の速さ
は
2秒後の高さの瞬間変化率
と言い換え可能です（この問題の場合）。

平均変化率だったら(1)のアのように
「a秒後からb秒後までの」
などの範囲を指定した文言が入るはずです。でないとどの範囲の平均かわかりませんので。

（２）は「球の体積の5秒後における変化率」と問題文に「瞬間の」などの文言はありませんが、

ではこの変化率、5.00000秒後の一瞬の変化率をどう求めるかというと、大雑把に言えば

5秒後の体積V(5)
と
そこからほんの少し時間が経った後の体積V(5+α)

の差V(5+α)-V(5)

をまず考えて、α秒の間にV(5+α)-V(5)だけ体積変わったのだから、この間の平均変化率は

V(5+α)-V(5) / α

になるので、5.00000秒後の一瞬の変化率はα→0として

lim V(5+α)-V(5) / α [α→0]

で求まるわけですが、これはV'(5)そのものです。

>瞬間変化率=微分ということでしょうか？

だいたいそういう理解でいいかと思いますが、より細かくいえば、

関数fのx=aにおける瞬間変化率は、x=aにおける微分係数f'(a)

ということかと思います。