Question

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(2)です。2枚目で、青い線が引いてあるところなのですが、どうしてt＝0の時に最小値を取るとわかるのでしょうか、？教えていただきたいです。

3次関数f(x)=x-ar (aは定数)について, 以下の問に答えよ.
2
(1) 座標平面上の曲線 C:y=f(r) が点 (3, a) を通る接線をちょうど2本もつような αを求めよ.
(2) 曲線C上の異なる2点S, Tそれぞれにおける C の接線がどちらも直線 ST に直交するとする.こ
のようなS. Tが存在するαの範囲を求めよ.
(3) 曲線と曲線y=(x-2)3-ax+2a の両方に接する直線がちょうど4本あるとき,それらの直
線をすべて求めよ.

(2) C′上の異なる2点 S (s, f(s)), T(t, f(t)) に対
し 直線 ST の傾きは
f(s) - f(t)
s-t
=
(s³-t³) - a(s-t)
s-t
=
(s2 + st + t2) - a
であるから, S, TにおけるCの接線がどちらも直線
ST に直交するための条件は
f'(s)=f'(t)
(f'(t)((s2+ st+t2)-a) = -1
である. s≠tを前提として
f'(s)=f'(t)
と書き換えられるので, ③ は
s=-t
a>0のとき, α =
382 - a = 3t2-a
(3t2-a)(t2-a) = -1
と同値である.G(t) = (3t2-a)(t2−a) とおくと,
G' (t) = 12t3-8at=4t(3t2-2a).
s =-t
a ≦0 のとき, G(t) の最小値は
G(0) = 2 > -1
であるから ④ を満たす実数 s, tは存在しない.
t
G' (t)
G(t)
となる. G(t) の最小値は
2a
✓2 とおくと,増減表は
3
-α
0
0 + 0
G(+a)= a(-a)
a...
| 0 +