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実力アップ問題 72
3次関数f(x)=x+ax²+2bxが, 0<x<2の範囲で極大値と極小値をもつ
CHECK 1 CHECK 2
CHECK 3
|ような実数a,b の条件を求め, それを ab 座標平面上に図示せよ。 ( 千葉大*)
ヒント! 3次関数f(x)が0<x<2の範囲に極大値・極小値をもつための条
件は, 2次方程式f'(x)=0の解の範囲の問題に帰着するんだよ。
軸x=
難易度
y=f(x)=x+ax²+2bx...…①
①をxで微分して,
f'(x) = 3x2 +2ax+2b
3次関数y=f(x) 図1
が0<x<2の
範囲に極大値と
極小値をもつた
めの条件は,図1
に示すように,2
次方程式f'(x)=
0が, 0<x<2の
範囲に, 相異なる
2 実数解をもつこ
とである。
f'(x)=0
2次方程式 3x²+2ax+2b = 0 ….…②
の判別式をDとおくと, この条件は,
(i)=a²-3.2b>0
:. b</a²
(ii)0<軸-1/3 <2
∴-6<a<0
8-----
0a
9
極大
下に凸の
放物線
a
3
y=f'(x)
B 2
y=f(x)
極小
x
β 2
x
(iii) ƒ´(0) = 2b>0
:. b>0
(iv) ƒ´(2) = 12 +4a+2b>0
::b>-2a-6
以上 (i)~(iv)より,求める条件は
b</a^² かつ -6<a<0 かつ
6
b > 0 かつb>-2a-6
･･･ ( )
これらの条件をすべてみたす点(a,b) の
i存在領域を
右図の網目
部で示す｡
【境界はすべ
て含まない。
･
b=-2a-6
b=0
a²=-2a-6
b:
-6 -3
a=-6
るので, b=
9²,
60
10
参考
b= 1a²b=-2a-6から6を消
去して,
a=0
a²+12a+36=0
(a+6)2=0 ∴a=-6 (重解) とな
-=-a² ≥ b = -2a-6 l£
6
上図のようにa=-6で接する。
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