△ABCにおいて, 辺BCの中点をMとし,
AB=c, BC=2a, CA=6 とおくとき
cos B を a, b, c で表せ.
AM2をa,b,c で表せ.
(3) AB' + AC2=2 (AM²+BM²)
が成りたつことを示せ .
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(1) 三角比の定額にそっていないから、普通のsino.4ではダメ
(2) 三角形の内部に線が1本ひいてあると, 1つの角を2度使うこ
精講
とができます. この問題でいえば, ∠B を △ABC の内角と考え
て(1) を求め,次に△ABM の内角と考えて(2)を求めることがそれ
にあたります。
(3) この等式を中線定理(パップスの定理)といいます。この等式は、まず
えるようになることが第1です. 使えるようになったら自力で証明すること
を考えることも大切です。 また, 証明方法はこれ以外に, 三平方の定理を使
う方法(
を使う方法などがあります。
図中の線分 AM を中線といいますが、 この線分 AM を 2:1に内分する
点Gを △ABC の重心といい (51), これから学ぶ数学ⅡIの「図形と方程
式｣,数学B の 「ベクトル」 でも再び登場してきます。
で学ぶ座標を使った方法, 数学Bで学ぶベクトル
や数学ⅡI
(1) △ABCに余弦定理を適用して
cos B=
4a²+c2-62 4a²+c²-62
2.2a.c
4ac
(2) ABMに余弦定理を適用して
B_ a M ++
a
解答
=
(3)a=BM,b=AC
AM²=c²+a²-2ca cos B=c²+ a²--
2
4a²+c²-b² b²+c²-2a²
2
2
