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00000
微分可能な関数f(x) f'(x)=ex-1 を満たし, f(1) = e であるとき、f(x)を
求めよ。
X
重要 例題 211 導関数から関数決定 (2)
指針 ▷>条件f'(x)=lex-1|から, f(x)=flex-1|dx とすることはできな
い。 まず、
絶対値 場合に分けるから
x>0のとき f'(x)=ex-1
x<0のとき f'(x)=-(ex-1)=-ex+1
x>0のときは、
x<0のときは,条件f(1) =e が利用できない。
練習
解答
x>0のとき, ex-1>0であるから
よって
f (1) =e であるから
ゆえに
C=1
よって
したがって
④
4 2111
limf(x)=limf(x)=f(0) を利用して, f(x) を求める。
0
(e=e-1+C_
したがって f(x)=ex-x+1
x<0のとき, ex-1 <0であるから f'(x)=-ex+1
よってf(x)=f(-ex+1)dx
= e から f(x) が決まる。 しかし,
と条件f(1)
そこで, 関数f(x)はx=0 で微分可能=x=0 で連続 (p.242 基本事項1②に着目。
320
tation (
=-ex+x+D (D は積分定数)
(2)
f(x)はx=0で微分可能であるから, x=0で連続である。
ゆえに
①から
②から
f'(x)=ex-1
f(x)=f(ex-1)dx=ex-x+C (Cは積分定数)
limf(x)=limf(x)=f(0)
x-0
x→+0
π
2
limf(x)=lim(ex-x+1)=2
x→+0
x→+0
lim f(x)=lim(-ex+x+D)=-1+D
x-0
ゆえに
ex-1
このとき, lim -=1から
x→0 x
lim
h→+0
2=-1+D=f(0)
lim
h-0
x-0
f(x)=-ex+x+3
......
ƒ(h)-f(0) eh-h-1
h
h
f(h) -f (0)
h
=lim
ん→+0
A
=lim
h-0
-=0,
-e+h+1
h
=0
よって,f'(0) が存在し, f(x)はx=0で微分可能である
e*-x+1
(x≥0)
以上から
f(x)=
D=3
yA
基本210
0
an
y=ex-1
導関数 f'(x) はその定義か
らxを含む開区間で扱う。
したがって, x>0,x<0の
区間で場合分けして考える。
f(x) は微分可能な関数。
◄lim
必要条件。
逆の確認。 p.257 も参照。
im (e^/-1-1)
ん→+0
lim{=(e^-¹) +1}
ん→-01
h
OTS
1
π
<x<1とする。 f'(x)=|tan²x-1, f(0)=0 であるとき, f(x) を求めよ。
