Question

みゆ

高一数Aの問題です。
x-2=5k,y+5=-13k とありますが、ここは何をしている計算ですか？どうやって計算するのか教えてください。

(3) $-01-16=13x+5y=1
2+...... ①
x=2,y=-5, ① の整数解の1つである。
よって
13.2 +5.(−5)=1
2
①② から 13(x-2)+5(y+5)=0
③3③
13と5は互いに素であるから, ③ のすべての整
数解は
x-2=5k;+5=-13k(kは整数)
のすべての整数解は
したがって
x=5k+2,y=-13k-5
(kは整数)
[参考 x=p, y=gを1つの整数解に選ぶとき、
x=5k+p,y=-13k+g(kは整数)
がすべての整数解となる。

1次不定方程式 整数解を全て求めよ

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

きらうる

オレンジの□の中
13(x-2)+5(y+5)＝0
この式が成り立つには、13と5は互いに素(共通の約数が1しかない)から、x-2は5の倍数、y+5は13の倍数でないと成り立たないのです。
例えば、
x-2が5だとしましょう。
13×5+5(y+5)＝0
→　5(y+5)＝-13×5
→　y+5＝-13
となりますし、
x-2＝10だとすると、
13×10+5(y+5)＝0
→　5(y+5)＝130
→　y+5＝26
どちらも、y+5は13の倍数になりますよね。

また両方ともプラスだと、たしても0にならないので、片方にマイナスをつけて
x-2=5k、y+5＝-13k　(kは整数)
としています。

Answer 2

effort

13(x-2)+5(y+5)=0
を満たす時
13と5が互いに素である（2つの整数をともに割り切る整数が1と-1のみである）ことから
(x-2)は5の倍数に(y+5)は13の倍数になっていないといけません。
よって、(x-2)は5の倍数であることを、任意の整数kを使って表すと、x-2=5k
これを式に代入すると13･5k+5(y+2)=0
この式が成り立つための(y+2)をkを使って表すと、
y+2=-13kとなります。