Mathematics
高中

この問題の解説が全く分からないので解説お願いします!SnをS2nとS2n-1に分けているのは奇数項と偶数項とで分けるためだと思うのですが、なぜ、S2nに奇数項のが入っているのでしょうか?また、なぜS2nとS2n-1のlimが一致すれば収束になるのでしょうか?

部分和 の極限 1 1 2 82 無限級数 1+1+ の部分和を Sn とするとき, lim S2n, lim S2n-1 を求め, 無限級数の収束, 発 n→∞ n→∞ + + + 3 4 9 8 散を調べよ。収束するときはその和を求めよ。) ポイント③a+b+a+b2+α+・・・・・・ 部分和 S が1つの式で表せないときは, S2月, S2-1 などを求め て,両者の極限が一致するかどうかを調べる。 一致する→収束一致しない → 発散 10 1407 *
である。 比級数は収 よ。 ■無限級 (初項)=0 の場合 ←|公比 <1となる。 ■数列{an} が 0 に収束 しない ⇒ 無限級数 0% n=1 は発散する。 1 82 無限級数 1+1+ の部分和をSとす 2 るとき, lim S2n, lim S2-1 を求め, 無限級数の収束、発散を調べ →∞ 11-0 よ。 収束するときはその和を求めよ。 解答 この無限級数の第 (2n-1) 項は るから Son={(1+1/2+(1/2)+..+(1/2)^'} UITZ 1 1 - -/- 2 1 1 1 1 + + + 3 4 9 8 よって +{1+(-1/2)+(-1/2)+..+(-1/3)^'} 1- (12)*1-(-1/3)^ + S2n-1= S2n - ( - 13 limS2n=2+ 11-0 11 4 3 = 2(1 - ( ²2 ) ) + (¹-(-3) }) =2 1 4 -1 (1/2 -1. 第2項は (-1/2)*1 であ \n-1 1 - - - - - - 1 1-(- 3 3 11 4 = n 4' lim S2-1=lim S2-0= →∞ 11-0 11 4 lim S2 = lim S2n-1= であるから, 無限級数は収束し, 和は n→∞0 n→∞ - 4 ← -初項1,公比1/1/2の等 比数列。 - 初項 1,公比 ← 等比数列。 S2n-1=San-a2n n-1 =S2n = S2x - (-)"¹
無限級数 部分和 極限 数ⅲ

解答

✨ 最佳解答 ✨

無限の数列の収束を考える場合、まず有限の数列を考えることが必要です。(今回なら2パターンありますね)
その2つが一致しなければ振動という状態で収束していないので解なしとなってしまいます,

なたろー

なるほど有限個なので奇数個と偶数個の場合があり、
極限が一致しない場合、奇数番目と偶数番目でそれぞれの極限の値が繰り返されるので振動するということですね!理解出来ました!ありがとうございました!

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