よ。
271 参考事項
目題であるから、
目する。
30
!
158 第n次導関数と等式の証明
1
(-1<x<1) について,等式
√1-x²
(数f(x)
が成り立つことを証明せよ。 ただし, f(®(x)=f(x) とする。
(1-x2)f(n+1)(x)-(2n+1)xf(m)(x)-²-1)(x)=0(nは自然
例題
自然数nについての問題であるから、 数学的帰納法 による証明が有効である。
nk+1のとき,等式は
(1-x2)f(k+2)(x)(2k+3)xf(+1)(x)-(k+1)^(x)=0
n=kのときの等式の両辺をxで微分し, それを変形する。・・・ 1
これをn=kのときの等式を仮定して証明する。 具体的には、 (+2)(x) を作るために、
CHART 自然数nの問題 数学的帰納法で証明
##
使明したい等式を①とする。このとき
f(x)=(1-x²)-2, f'(x)=x(1-x²)-²,
f(x)= (1-x²) ¹ + x[-2 (1-x²)-¹} (-2x)
練習
158
={(1-x²)+3x²}(1-x²)−2 = (2x²+1)(1-x²)-²
n=1のとき
(1-x²)ƒ" (x) — 3xf'(x) —ƒ(x)
=(2x²+1)(1-x²)-²-3x² (1-x²)¯³-(1-x²)
=(1-x²)(1-x²)¯¾—(1-x²) - — =0
よって、①は成り立つ。
[2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると
(1-x2)f(k+1)(x)-(2k+1)xf(k)(x)kfk-1)(x)=0
n=k+1のときを考えると, この両辺をxで微分して
{-2x(+1)(x)+(1-x2)f(k+2)(x) (2k+1)f(k)(x)
- ½
これを変形すると
(1-x^²f(x+2)(x)-(2k+3)xf (+1)(x)-(k+1)^f(k)(x) = 0
よって,n=k+1のときも ①は成り立つ。
[1] [2] から すべての自然数nについて ① は成り立つ。
関数f(x)=
1
1+x2
-(2k+1)xf(k+1)(x-k2f(k)(x)=0
[1] f'(x)=x(1-x²)
=x{f(x)]³
f'(x) = {f(x)}*
1269
したがって
f" (x)
{f(x)}
+3x{f(x)}^2f(x)
1
{f(x)}^
=f(x)+3xf'(x)
=1x2 から
(1-x²)ƒ"(x)
=f(x)+3xf'(x)
5章
f()
22
について 等式
(1+x²) f(n)(x)+2nxf(n-¹)(x)+n(n-1)f(-2)(x)=0 (n≥2)
が成り立つことを証明せよ。 ただし, f(x)=f(x) とする。
としてもよい。
[{f(k+1)(x)}'=f(k+2(x)
{f(k)(x)=f(x+1)(x)
{f(x-1)(x)=f(h)(x)
高次関数 関数のいろいろな表し方と導関数
[ 類 横浜市大 ]
介
定着
Cp. 276 EX13
大学入
漏れ
から
似次どうかんすう
だから、
to'p 3 (1) 24/1/2
の
B612
02
