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分の垂直に関する証明
△ABCの重心を G. 外接円の中心を0とするとき、次のことを示せ。
(1) OA+OB+OCOH である点H をとると, Hは△ABCの垂心である。
GH-20G
七
基本例題 30
基本23 基本
指針 (1) 三角形の重心とは、三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点で
AH ¥1, BC +1. BF 0, CÃ +1のとき
AHLBC, BHLCA
であるから、内積を利用して、
○は△ABCの外心であるから, OA|=|OB|-|OC | も利用。
(2) (1) の点に対して, 3点O, G, Hは一直線上にあり
[類 山梨大]
【CHART 線分の垂直 (内積) = 0 を利用
解答
(1) A=90° /B=90° としてよい。
このとき, 外心Oは辺BC, CA上
にはない。
①
OH = OA + OB+OC から
******
AH-OH-OA=OB+OC
ゆえに AH-BC
- (OB+OC)-(OC-OB)
= |OC|-|OB|³=0
同様にして
・・・・・・ ④
AH-BC-0, BH-CA=0
人 [(内積) = 0) を計算により示す。
B
BH.CA=(OA+OC).(OA-OĆ)
-|OA|-|OC|²=0
また①から AH=OB+OC+0, BH=OA+OC+0
よって, AH = 0, BC=0, BH ¥0, CA ¥0 であるから
AHBC, BHICA すなわち AH⊥BC, BHICA
したがって, 点Hは△ABCの垂心である。
OA
(2) OC=ON+O3+OC_110F から OH-3OG
3
ゆえに CH-OH-OG=2OG
よって, 3点O, G, Hは一直線上にあり
練習 右の図のように, △ABCの外側に
GH=2OG
n
直角三角形のときは
∠C=90° とする。
このとき,外心は辺AB上
にある (辺ABの中点)
BC=OC-OB (分割)
△ABCの外心0→
OA = OBOC (数学A)
(検討)
外心, 重心,垂心を通る直
(この例題の直線OGH) を
オイラー線という。
ただし、正三角形は除く。
<(1) から
OA+OR+OCOH
鋭食
(1)
(2)
(1)
C
[①]