✨ 最佳解答 ✨
問一下，你應該還到學過微分、羅畢達法則、自然對數ln
這些吧（這些是大一微積分的必修內容）
好的，我用講的好了。
證明需要用到羅必達法則。
(1)的部分
令函數 y = x^x，取log（用10為底）
log y = x(logx)
當x→0+時，x→0，logx→(–∞)
可以看成 0 • (–∞)，但是結果未知。
數學上的直覺來說，
y=x 的成長速度，絕對比對數函數logx還要快很多
因此，lim[x→0+] (xlogx) = 0
那麼，就知道了 log y →0，
所以y→1，得到答案了。
至於證明，我打在下面，讓你參考一下：
我們定義 e = lim[n→∞] (1+1/n)^n
這是一個存在的極限，其中e=2.71828...
是一個無理數，數學上紀念稱 e 為歐拉數。
如果log以e為底的對數，稱為「自然對數」，簡記為ln。
因為(lnx)的微分是(1/x)，
大一微積分的對數最喜歡使用ln，
並非高中的10為底的對數log。
那麼，回到這題上，y = x^x，兩邊取對數
lny = x(lnx) = (lnx) / (1/x)
當x→0+，分子的lnx→–∞，分母趨近+∞。
羅必達法則表示，凡是不定型，
（0/0）或（±∞/∞）這種的，
都可以對分子分母獨自微分一次，極限相同。
因此，(lnx)/(1/x) 分子分母各自微分一次後，得到
(1/x) / (–1/x²) =–x
此時極限x→0+，–x→0
這表示，lny→0
故y=x^x→0，當x→0+時。
因為這個證明都是大一的，超出高中範圍。
抱歉最後一句話是 y=x^x→1，抱歉我打錯了
（因為log1=0）
（2）遇到絕對值，就討論
當x→0+，表示x>0，
則 |x|^x = x^x，這個右極限已經知道是1了。
當x→0-，表示x<0
則 |x|^x =(–x)^x
令 y = –x，則x→0-，有y→0+
即 y^(–y)=1/(y^y)
又我們知道分母的極限
lim[y→0+](y^y)=1
所以左極限 1/1=1。
因為左極限 = 右極限 =1，
故極限存在，就是1。
如果你有不清楚的，或是需要我手寫，再告訴我。我再用寫的拍照上傳。
謝謝你第二題看懂了
可是第一題歐拉數那邊開始不懂了⋯⋯
看一下這個影片
歐拉數e的二項式展開
https://m.youtube.com/watch?v=4Z5djp4-_7M
哇我只有學到微分 跟一點點點點的羅必達而已⋯⋯