Question

さこ

少し長い問題ですが、自分が分からない部分を丁寧に解説してくれると助かります！
（1枚目が問題、2,3枚目が解答の画像です）

簡単に言うと【媒介変数で表された曲線C】を【y＝xを軸に360度回転させてできる】図形の体積を求めようという問題です。

どのように解き進めていくか大まかな流れはわかったのですが、曲線Cの書き方が解答を見てもよく分かりません。

最初自分は3次関数や4次関数の増減表を書くのと同じように【dy/dx が0になるθの値を調べていけばグラフの全体像が掴める】と思っていました。
（うまくいかなかったのですが、、）

解答ではdy/dθ、dx/dθどちらも調べています。
それぞれ値が0になったとき何が起きているのか。
何がどうなっているのかよくわからないんです！
どのようにグラフをイメージしていけば良いか教えてください🙇🏻‍♂️

原点を 0 とする座標平面において, 媒介変数 0 (0 ≦0 ≦ 2) によって表された曲
C:
x=(1+cos0) cos0
y = (1 + sine) sin 0
について, 以下の問いに答えなさい。
点Pを曲線C上にとる。 Pから直線y=xへ垂線PHを下ろし, PH を半径とす
る円の面積をSとする。 ただし, P が直線y=x上にあるときPとHは同一点
であり S = 0 とする。 また, (1) で求めた2つの接線において, x座標が負の接点
をQとして, QH の長さをんとする。 ただし, QとHが一致するときはん=0と
する。
Q(1-12 1-12
2.2
(2) Pの座標を (X,Y) とする。 X, Y を用いて Sとを表すと
X+Y-1+√₂
である。
S
(き)
(X-XX ₂
2
=
h (<)
=
(3) 曲線Cによって囲まれた部分を直線y=xの周りに1回転させてできる立体の
体積V を求めることを考える。 VはSをんについて積分すれば得られるが,置換
積分法によってSを0について積分しても計算できる。 これより V=
(け)を導く過程も所定の場所に書きなさい。
(け)
となる。 なお,

sin 0 (2 cos 0+1)
(I + QUIS Z) A SOJ
dy
OP
xp xp
OP
ap

0
de
dy
do
0
i
do
:
I
+
0
;
I
1
3
0
(0. 2)
P(x, y)
:
3√3
( - 1 3 +22³)
4
+
(12, 0(0, 2) (++)0,0/
(0, 0)✓
L
0
3
(1) 84
曲線Cのグラフは次のようになる。
y
:
3
I
78
H
S
→
1
4449
45
3
13.-1)
+
R
2
d.
2
+
●
700.00
:
6
0
y=r
(2. 0)
√3
(2/1 + 13.-1)
4
AR
0
(2.0)

微分積分 媒介変数 三角関数

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

Nn_nt

dx/dθとは、微小増加分θに対するxの増加量
dy/dθとは、微小増加分θに対するyの増加量
サイクロイドの座標(x,y)はθによって与えられるので
dx/dθ,dy/dθを調べてdx/dθ>0なら微小増加分θに対してxは増加したのでxは右(x軸正の向き)に動く。
dx/dθ<0なら微小増加分θに対してxは減少したのでxは左向き(x軸負の向き)に動く。
dx/dθ=0の時微小増加分θに対してxは増減しなかったのでxは変わらない(不動)
dy/dθについても以下同様に
dy/dθ>0:y軸正の向きに動く
dy/dθ<0:y軸負の向きに動く
dy/dθ=0:y座標は変わらない
この2つを合わせたのが曲線Cの座標(x,y)関する移動方向を表す。dy/dθ>0,dx/dθ>0⇔(x,y)は右上に動く

さこ

なるほど。ではこの場合のdy/dxは何を表しますか？
また分母であるdxはゼロになってもいいのですか？
（理解が乏しく変なことを聞いてしまっているかもしれません）

Nn_nt

dy/dxは曲線Cの(x,y)における接線の傾きです
dy/dx=0を満たせばそのxのところでdy/dθが0になります。

y(f(x))をxで微分するとは
微分の定義から
f´(x)=lim(h→0)f(x+h)-f(x)/h
つまりf´(x)=f(x+0.0…1)-f(x)/0.0…1
これは分母がxの微小増加分、分子がyの増加量を表していてdy/dxとなる
よってdy/dxとはxをある値に限りなく近づけた時のΔx間の傾きです。
従ってθ=πの時のdy/dxはlim(θ→π)dy/dx=∞
接線の傾きは∞に発散して分母は0にならない。
dy/dx=∞なら逆にdx/dy=0を満たすθのところのyでdx/dθは0になります。

つまり、dx/dθ=0,dy/dθ,

Nn_nt

つまり、dx/dθ,dy/dθ=0に注目して増減表を書けば良いです
その時のθに対応するx,yの値も書いておけば分かりやすくなると思います

さこ

なるほど！ありがとうございます！