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00000
基本例題 90 ある変域で不等式が常に成り立つ条件
0≦x≦2の範囲において、 常に x²-2ax+3a> 0 が成り立つように、定数
αの値の範囲を定めよ。
CHARTO SOLUTION
解答
415600
ある変域で2次不等式が常に成り立つ条件
2次関数のグラフから読み取る
ある変域でf(x)>0
(変域内の最小値) > 0
変域に制限があるから,xの係数> 0 かつ D<0 だけで済ませてはダメ。
問題をグラフにおき換えると, 求める条件は 「y=x2-2ax+3aのグラフが
0≦x≦2の範囲でx軸の上側にあること｣ である。
これを(変域内の最小値)>0と考えてみる。
この最小値の求め方は、基本例題 62 (p.104) を参照。
y=x-2ax+3a のグラフは下に凸であるから、軸が変域の左外,内,右外で場
合分け。
f(x)=x2-2ax+3a とする。
求める条件は, 0≦x≦2の範囲における関数 y=f(x) の最小
値が正であることである。
f(x)=(x-α)2-α² +3a であるから, y=f(x) のグラフは下
に凸の放物線で, その軸は直線 x =α である。
[1] α < 0 のとき
f(x)はx=0 で最小となる。
よって
RES
f(0)=3a>0 これは,α<0 を満たさない。
[2] 0≦a≦2のとき
f(x) は x=αで最小となる。
よって f(a)=-a²+3a > 0
これを解くと, a(a−3) < 0 から
これと 0≦a≦2の共通範囲は
[3] 2 <a のとき
f(x) は x=2で最小となる。
よって f(2)=4-a>0
これと 2 <a の共通範囲は
2<a<4
②
求めるαの値の範囲は、①と②
を合わせて 0<a<4
すなわち
0<a<3
0<a≦2
640
ゆえに a<4
PRACTICE 90 f(x)=x²-²¶r-atu
消してるからに
ありえる
ceco sta
a²-3a<0
coa
4
JETHAL
[1]\
a
[2]
[3]
0a2
02
a
2x
