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例題
56
剰余定理(2)
CIBOA ***
整式P(x) を x2+x+1 で割ると余りはx+1,x-1で割ると
余りは11のとき, P(x) を x-1で割った余りを求めよ.
(東京電機大・改)
考え方 x-1=(x-1)(x2+x+1) である」 "{S+(S-x)}(S)
P(x)=(x²+x+1)Q(x)+x+1,Q(x)=(x-1)Q'(x)+α とおくと,
P(x)=(x2+x+1){(x-1)Q'(x)+α}+x+1
Poal
beh
=(x-1)(x²+x+1)Q'(x)+α(x2+x+1)+x+1となる。焼
1
解答 P(x) を x2+x+1 で割った商をQ(x) とすると、余りは
x+1 より,
^ (1) 46 + - = (1) J
P(x)=(x2+x+1)Q(x)+x+1° ...... ① (8) A
さらにQ(x) をx-1で割った商をQ'(x), 余りを定数
a とすると, ?
Q(x)=(x-1)Q'(x)+α ...... ②
② を①に代入すると,
P(x)=(x2+x+1){(x-1)Q'(x)+α}+x+1
P(x) を x-1で割ると余りは11より,
したがって ③より.
=(x-1)(x²+x+1) Q'(x)+ a(x²+x+1)+x+1et
=(x-1)Q'(x)+α(x²+x+1)+x +1 ..... ③
"(SŤ (S)
P(1)=11
P(1)=α (12+1+1)+1+1=11
43 a=3
よって, 求める余りは,
3(x2+x+1)+x+1=3x2+4x+4
1次式で割ったときの
余りは定数
BRE
剰余の定理)
