Question

tipi

102番についての質問です。
（2）を解くときに、解と係数の関係が使われていますが、問題を見たときにどのように解と係数の関係を使うときづけるのか教えていただきたいです。

TEALTH
上を動くとき、点Pは直線
OLUTION
に関して PとQが対称
直線PQCに垂直
分PQの中点が上にある
Zy+80 上を働くときの
量の関係式を導く。
に関して点Qと対称な点Pの軌跡, と考える。 ······
・・･･ [
ご連動する点P(x, y) の軌跡
-8
INSALA
/ P(x,y)
(5)
YA
√₁
01
①
Q(s,t)
。
x
Q
inf 線対称な直線を深
るには, EXERCISES
71 (p.131) のような方法し
あるが, 左の解答で用いた
軌跡の考え方は、直
の図形に対しても通用する
◆垂直⇔傾きの積が2
◆線分PQの中点の座標は
(x+s y+t
2¹ 2
vtt)
上の2式の辺々を加え
ると 2s=2-2y
辺々を引くと
-2t=2x-2
◆s, t を消去する。
重要 例題 102 放物線の弦の中点の軌跡
00000
直線y=mx が放物線 y=x2+1 と異なる2点P, Qで交わるとする。
(1) m のとりうる値の範囲を求めよ。
(2) 線分PQの中点Mの軌跡を求めよ。
CHARTO SOLUTION
条件を満たす点の軌跡
つなぎの文字を消去し, x, だけの関係式を導く ・・・・・・
(1) 異なる2点で交わる
⇔yを消去したxの2次方程式が異なる2つの実数解をもつD>0
(2) 中点の座標を解と係数の関係を利用してmの式で表す。 この m を消去し
て軌跡の方程式を求める。 ただし, (1) の条件から軌跡の範囲を調べる。
解答
(1) y=mx..... ①, y=x2+1
① ② からyを消去すると
mx=x2+1 すなわち x-mx+1=0...... ③
③ の判別式をDとすると D=(-m)-4=(m+2)(−2)
直線 ① と放物線 ② が異なる2点で交わるための条件は
D>0
④より"<-1,1<
2
YA
したがって 求める の値の範囲は m<-2,2<m ... ④
(2) 2点P, Qのx座標をそれぞ
れβとすると, α, βは③の
異なる2つの実数解であるから
解と係数の関係により α+β=m
したがって, 線分PQの中点M
の座標を(x,y) とすると
(a+β)_m
2
2'
上の2式からmを消去して y=2x2
よって, 求める軌跡は
・・・・・・･ ② とする。
m
2
y=mx
であるから
O
P
[改 星薬大 ] [基本 100
M
放物線y=2x2 の x<-1,1<x の部分
x<-1, 1<x
1
a a+B x
2
◆直線 ① と放物線②が異
なる2点で交わるとき,
2次方程式 ③ は異なる
2つの実数解をもつ｡
←点Mは直線 ① 上の点。
m=2x を ④ に代入し
て2x<-222x
よって x<-1, 1<x
と考えてもよい。
3章
13
軌跡と方程式

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

あ

この問題の場合、中点は２つの解をそれぞれ求めなくてもそれらの和が分かれば２で除算するだけで良いと気づいたかどうかです。
問題をいっぱい解いて経験を積んで下さい。

tipi

分かりました。
教えてくださり、ありがとうございました。
もっと経験を積んでいきます。