Question

yaaa~

請問這一題怎麼算🙏

C
X
試求滿足"是"位數的正整數n共有幾個?
(A) 1 個
(B) 2 個
(C) 3 個
(D) 4 個
(E) 0 個
n"是"位故
对故值介於(n-1)wnl

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

可知

考慮n^n的對數值是nlogn。
如果n=1，那麼1^1=1是1位數(顯而易見)。
如果n>1，那麼考慮
nlogn=(n-1)+logx (其中0≤logx<1，且如果n^n是n位數的話)
n(logn-1)=logx-1
n(1-logn)=1-logx
右式的數範圍是0<1-logx≤1
也就是說
0<n(1-logn)≤1
令f(n)=n(1-logn)，可以嘗試列表（有點像勘根定理那樣）
n值 | f(n)
2 | 1.3980
3 | 1.5687
4 | 1.5920
5 | 1.5050
6 | 1.3314
7 | 1.0843
8 | 0.7760
9 | 0.4122
10 | 0.0
11 | -
…(稍微要計算一下，需要背一下log2，log3，…，log9的大約值。)

當n≥11時，n(1-logn)<0，而且會越來越小(負越多)。
所以，可以發現，n=8和n=9時，剛好n(1-logn)介於0~1之間，
這就表示8^8是8位數，且9^9是9位數。
而n=10剛好是0，但是10^10是11位數，不是題目要的情況。
所以答案是3個。