Question

あ

数Ⅱ 二次方程式の解の存在範囲
この問題の(1)についてです。
二つの解がともに1より大きいとありますが、a＞1、b＞1であるための条件は
D≧0 かつ ab＞1 かつ a+b＞2
ではなぜだめなのですか？

基本例題 52 2次方程式の解の存在範囲
2次方程式x2-2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように、 定数の
値の範囲を定めよ。
(1) 2つの解がともに1より大きい。
(2) 1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。
指針
2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとする。
(1) 2つの解がともに1より大きい。→α-1>0 かつβ-1> 0
p.87 基本事項 2
(2) 1つの解は3より大きく、他の解は3より小さい。 →α-3 と β-3が異符号
以上のように考えると, 例題 51 と同じようにして解くことができる。 なお, グラフを
利用する解法(p.87 の解説) もある。 これについては, 解答副文の 別解 参照。
......
89
2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解をα, β とし, 判 | 別解 2次関数
解答 別式をDとする。
f(x)=x²-2px+p+2
のグラフを利用する。
D
D=(− p)²-(p+2) =p²_p_2=(p+1)(p−2)
解と係数の関係から α+β=2p, aβ=p+28
4
P=²) (1) = (p+1)(p−2) ≥0,
4
58軸についてx=p>1,
(1) α>1,β>1 であるための条件は+n)=8p
Sa
f(1)=3-p>0
から 2≦p<3
D≧0かつ (α-1)+(β−1)>0 かつ (α-1) (B-1)>0
D≧0から
(p+1)(p-2) ≥0
YA
よって
p≤-1, 2≤p. 1-6-(8-8)E-(8-)
x=p_y=f(x)

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

単に
①a＞1かつb＞1と
②ab＞1 かつ a+b＞2
は同値でないから（言い換えられないから）です

たとえば②→①の反例の一つはa=0.9かつb=1.2

使えるのは
a>0かつb>0と
ab>0かつa+b>0
が同値ということだけだから
この事実を使えるようにa-1とb-1を
一つの文字とみなしているわけです

あ

なるほど！ありがとうございます😊