解答

C上の線形写像であるから、スカラー倍のスカラーは複素数です。
おそらく実数として扱ったために解けなかったのだろうと思います。
R上だと自明だが、C上だと正則であることと同値になるのは面白いですね。

コーシーリーマンの関係式 正則関数
ゲス

複素数として考えましたけど解けなかったですね

Crystal Clear

dfがC上線形写像であることから、任意のk∊C,a∊R,b∊Rに関して
df(k(a+bi))=kdf(a+bi)
k=c+di, c∊R,d∊R とすると
左辺=df(ac-bd+i(ad+bc))=fx(ac-bd)+fy(ad+bc)
右辺=(c+di)(fxa+fyb)=fx(ac+adi)+fy(bc+bdi)
任意のa,b,c,dで左辺=右辺だから特にa=d=1,b=c=0として
fy=ifx
とコーシー・リーマンの関係式が得られた

ゲス

コーシーリーマンは分かるんですけどそれをこの問題にどう使えばいいのかが不明です。

Crystal Clear

(2)のことでしょうか?
(2)は(1)と独立した問題だと思います。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10110237995
のようにやればいいです。

ゲス

(1)です

Crystal Clear

正則⇔コーシーリーマン
だから、
コーシーリーマン⇔dfが線形写像
を示せばよい。
←は上のように示せる。
→はfy=ifxを代入すれば示せる。
これで証明ができた。

ゲス

やはり→の方を示すのが上手くいきません。代入しましたが等しくならなかったです

Crystal Clear

→の証明
コーシーリーマン、つまりfy=ifxのとき
df((a+bi)+(c+di))=df((a+c)+i(b+d))=fx(a+c)+fy(b+d)=(fxa+fyb)+(fxc+fyd)=df(a+bi)+df(c+di)
df((c+di)(a+bi))=df((ac-bd)+i(bc+ad))=fx(ac-bd)+fy(bc+ad)=fx((ac-bd)+i(bc+ad))=fxa(c+di)+fxb(c+di)i=(c+di)(fxa+fyb)=(c+di)df(a+bi)
よりdfはC上の線形写像である。

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