Question

たなしゅん

赤線部がどういうことなのか理解できません。
教えてください。

ここで, F(a)=e- ee+pl dx …(a) の複素積分については
まずh(z) = e-p?(z: 複素数)とおこう。
この複素関数 h(z) は, 全複素数平面で
正則(微分可能)な関数なので, コーシ
ーの積分定理より,右図のような4つ
の積分路 C1, C2, C3, Caによる1周線
積分の結果は0 となる。つまり,
a
2p
C3
Ca
AC。
0|c.
-R
R
x
(複素数平面)
=0 ……(b) となる。
Ic。
ここで,R→0のとき, h(z)dz→0,. h(z)
-LAc)dz=h(c)dz すなわち,
-*+ dx=
R
R
-px?
dx となる。
R
-R
ここで,さらにR→8とすると,
「 ax= dx ……e) となる。
2p
(c)を(a)に代入すると, フーリエ変換 F(a) が
a?
Sem dx =
a?
F(a)=
4p
e
I
4p
e
となって,求まるんだね。
三
P131 参照
p
*複素関数の正則条件” や “コーシーの積分定理" 等をご存知ない方には、
「複素関数キャンパス · ゼミ」 (マセマ)で学習されることを勧める。
● フーリエ変換とフーリエ逆変換の意味を押さえよう!
これまで,さまざまな関教 f(o

フーリエ変換 複素積分

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

哲治

コーシーの積分定理そのものですよ。
結論として欲しいのは、実軸の[-R,R]のR→無限なのに注意してください。
その上で、h(×)は全複素平面で正則関数なんで、コーシーの積分定理より、単純閉曲線(ここでは長方形)を考えると、積分路の形によらずに１周積分はゼロです。
だから、積分路を長方形を薄く実軸に広がるようにペタンコに変形していくイメージなんです。

たなしゅん

図の長方形をx軸方向に伸ばし続ければ、縦の長さは無視できるという感じですか⁇

哲治

そういう感じです。

たなしゅん

難しく考え過ぎてました。
ありがとうございます。

哲治

コーシーの積分定理をよく復習してください。
この定理を使えるのは、複素関数で考えたときに正則関数である必要ありますので！
何でも長方形でできるわけではありません。
フーリエ変換を学ばれてるならば、複素関数論についてももちろんご存じだとは思いますので。