Question

内職の「ｳﾞｫﾆ！」です@北大総理絶対合格！

2枚目の写真の×部分ってその後全く使ってない気がするんですが記述で書かなくてもおけですかね？

オフの形状は右の図となる。 x軸との位置関係を
(i) f(x)=0が3つの異なる実数解をもつ
176
⇒ y=f(x)がx軸と3点を共有する
(極大値) と(極小値) が異符号である
(極大値)×(極小値) <0
(i) f(x)=0が2つの異なる実数解をもつ
⇒ y=f(x)がx軸と2点を共有する
⇔ 極値のいずれか一方が0となる
(極大値)×(極小値) = 0
(i) f(x) = 0 が実数解を1つだけもつ
⇔ y=f(x)とx軸が1点を共有する
←(極大値) と(極小値) が同符号である
⇔
× ( 極小値) > 0
(極大値)
る。
~
2222
73 (1) αを実数とする. x≧0 において、常にx+4x² Sax +18 が成り立っている
ものとする. このとき, αのとり得る値の範囲を求めよ.
(2) (1)で求めた範囲にあるαのうち,最大のものをaとするとき, 不等式
x] +4x² Sax + 18を解け.
(岡山大)
思考のひもとき
1. x≦0において, f(x) ≧ g(x)
⇒ x≦0において、常にy=g(x)のグラフがy=f(x)のグラフよりも上に
ある(共有点をもってもよい

(1)
f(x)=x+4x2
g(x)=ax+18
とする.
①をxで微分して
f'(x)=0 とすると
増減表は
f'(x) +
f(x)
極大値:
:
x≧0 において
7
x=0,
i
f'(x)=3x²+8x=
co/00
8
3
0極大
極小値: f(0) = 0
X
x³+4x² ≤ax+18
8
3
0
10 極小
3x=3x(x + ³)
+
ƒ(− 3 ) =(− 3)³ +4(~3)² = (-3)*(-8 + 4) = 256
27
←使ってなくね?
第9章 微分法
y-(t³+4t²)=(3t²+8t)(x-t) (3)
であり,これが (0, 18) を通る条件は, ③ に (0, 18)
を代入して
⇒ x≦0においてf(x) ≧ g(x)
⇒ x≦0において常にy=g(x) がy=f(x) より上にある
y=f(x), y=g(x)のグラフを考えると,y=g(x) は傾き a, y切片 18 の直線である
から, y=f(x) と y=g(x) が接するときのaの値を とすると、グラフより⑩を満
たすαの範囲は, p≧a である.
y=f(x) 上の点(t, f(t)) における接線は
y=g(x))
18-(t³+4t²)=(3t²+8t)(-t)
.. 2t³ +4t² +18=0
t²-t +3
• t³+2t²+9=0&t=-30²0² +3/+²+26² +9
t²+3t
.. (t+3)(t²-t+3)=0
3t+9
-4 8
y=f(x)
3
YA
18
微分法
0
x

78
11
3= (1 - 12 ) ² + 3 - ² ² = (1 - 1)² + 1¹ 12 > 0
t²-t+3=(
このとき 接線の傾きは
よって、求めるαの範囲は
(2) a≦3より
ao=3
このときx+4x' Sax +18は
(x+3)(x^2+x-6≦0
(x+3)2≧0より x≤2
27-24=3
[f(t)=g(t)
lf'(t)=g' (t)
->0 より
∴.p=3
a≦33t+ft(③より)
x³+4x²-3x-18 ≤0
(x+3)^(x−2)≦0
|t+4t2=at+18 ...... ③3
13t2+8t=a
(4)
1° (1) では,x+4x²≦ax+18(x≦0) が成り立つようなαの条件を求めればよいので、
x+4x-ax-18≦0 (x≦0) と考えれば, y=x²+4x2-ax-18のx≦0における最大
値が0以下である,と考えてもよいが, 極値が容易に求まらないので,最大値を求め
ることは難しい.
2 そこで改めて式を“読んでみると, x=0 において+4x²がax +18 以下である
(小さくなる) 条件を求めよ、ということだから, y=x2+4x2 と y=ax+18のグラフ
の位置関係を考えればよいことに気がつくであろう.
y=x2+4x²のグラフは微分して増減表を書けば容易にかくことができるし、
y=ax+18 は (0,18) を通り傾きがαの直線なので, その位置関係を把握するのはた
やすい.
3° 曲線と曲線が接する条件は、 接点を共有し, その点における接線が一致することで
あるから, f(t)=g(t) かつf'(t)=g'(t) となる.
200
4° (2), a=a のときy=f(x)とy=g(x) は接する. その接点のx座標が-3である
ので, f(x)-g(x) は (x+3)2 を因数にもつ.
別解こっちのがわかりにく
(1) の後半は次のように解いてもよい。
y=f(x) と y=g(x) が接する点のx座標をすると
y=f(x) と y=g(x) が接する
t=-3

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

umena

グラフの形がすぐ分かって描けそうなら要らないかもですね。
私が解く場合なら、三乗の項が正で、f(x)=x^2(x+4)と変形すると、x軸とx=-4で交差し、x=0で接するグラフになるなあと考えて、確認のために軽く増減表ぐらい書くかもしれません。

内職の「ｳﾞｫﾆ！」です@北大総理絶対合格！

ですよねーありがとございます

Answer 2

umena

最後にグラフでf(x)<=g(x)を考えるため、まずf(x)のグラフを描いてみようということになるので、バツの部分も必要になります。

内職の「ｳﾞｫﾆ！」です@北大総理絶対合格！

三乗の項の係数の正負が分かってれば問題ない気がするんですが…