練習 163 実数x,yがx2+y2 = 9 を満たすとき, 3x² +2√3xy-3y2 の最大値と最小値を求めよ。
AY
3 (3cose, 3sin)
実数x, y は x2+y2 = 9 を満たすから
x = 3 cos0, y = 3sin0 (0 ≤ 0 < 2π)
とおける。 よって
3
3x²+2√3 xy-3y²
O
13 X
STAR
= 3.9cos²0+2√3 3 cos 3sin0-3.9sin²0
= 27 cos²0+9√3 2 cosesin0-27 sin²0
= 27 cos 20+9√ 3 sin 20
cos²0-sin²0 = cos20
12 cosesin0 = sin20
= 9(√3 sin20 +3cos20)
1
√3
=
= 9.2√ 3 sin 20.
+ cos20.
2
=
= 18√ 3 sin(20+
sin(20 5)
3
ここで,0≦02 より
-1 ≤ sin (20+) ≤1
- 18/3 ≤ 18√/3 sin(20+) ≤ 18√3
最大値 183, 最小値-18√3
したがって
OSMA + (0600+0205)
Saub
Cabo Site:+S20062209
200%
Unles)Wa
2.0
2058
I sin (20+1)=-1のとき
19
0
17/127² π,
T
12'
sin(20+)
=1のとき
13
8-12 12-
0
=
T
12'
-
