Question

あみ

2枚目で線引っ張ってるところ、なんでf(1)=0なんですか？

f(z)がz=a で微分可能とは,f(a)が存在することを意味しま
このとき,関数 f(x) が z=1 で微分可能であるように,a, bを完め
小,すなわち, h>0 と h<0 のときでf(1+h)の式が異なるので, h→+l,
59 微分可能性
lin
関数 S(z)を次のように定める。
log.z
また、
(r21)
f(x)=
lee+ar+b (x<1)
log (1+h).
=1 は用いてよい。
よ、ただし、lim
h→0
の,
h
精講
すから,ここではf(1) が存在することを示します。
L= f'(1) ですが, 1+hと1の大
定義によると lim
h
h→0
h→-0 の2つの場合を考え,
(ハ(+
lim
h→+0
= lim
h→-0
52左側極限,
三
h
ん
右側極限
が成りたてば
lim
が存在する
la)
ことになり,目標達成です。これだけで a, bの値は求
められますが,ポイントにある性質と,連続の定義を利
h→0
h
用してaとbの式を1つ用意しておくと, ラクにa, b
(53
注
の値を求められます。
解答
まず,エ=1 で連続だから, limf(z)=f(1) が成りたつ。
lim (r°+ar+b)=0
エ→1
エ→1-0
log1
. 1+a+b=0 …0
このとき,
-=0
11
lim (1+h)-f(1)-lim!Log(1+h)
h→+0
= lim
h→+0 h
h
1+h

105
1_. log (1+h)
1+h
=1
lim
h
三
00
h→+0
lim
また,lim
h
h→-0
4f(1)=0
h→-0
h°+(a+2)h+a+b+1
lim
h
(1+a+b=0
h→-0
=lim(h+a+2)=a+2
h→-0
f(1)が存在するので, a+2=1
0, 2より,a=-1, 6=0
log(1+h)
h
を定め
…2
lim
-=1 は次のようにして証明します。
h→0
参考
f(x)=log.z とおくと
-意味しま
log(1+h)
h
lim
-=lim
(微分係数の定義
h→0
h
h→0
-と1の大
f(z)=- だから,f(1)=1
よって, lim
log (1+h)
ん
-=1
h→0
en-1
-=1 も同様にして示せます。
h
注 lim
h→0
現。
関数 f(x) が z=aで微分可能
f(x)は z=a で連続
ポイント
注逆は成りたちません.
リ=f(x) のグラフをかくと右図のように
なり,継ぎ目のr=1 でなめらかにつなが
っている様子が読みとれます.これが,微
分可能をビジュアルにとらえた状態です。
logx
リ=
fu=aー2
Y=2-1
-1
G+x)(8+x)(
演習問題 59
関数 f(r)
0で微分可能かどうか調べよ。
第5章

Answer 1

ゆうっちょ

このように考えました

あみ

ありがとうございます！

ゆうっちょ

よかったです‼️