9 連立1次方程式 / 連立方程式の解の存在条件
[(a−2)x+4ay=−1
の定数として、次のエリについての連立方程式を考える。ょー (34+1)y=a
] のとき, この連立方程式の解は存在しない.
(麗澤大)
[] のとき, この連立方程式の解は無数に存在する
等式の条件の扱い方
等式の条件式が1個与えられたら,それを使ってどれか1文字を消去するの
が原則的な手法である.x,yの連立1次方程式の場合,例えば一方の式からxをyで表して、他方の式
に代入するとyの1次方程式に帰着できる.
xの方程式x=gの解
p=0のときx=2, p=0 かつ g=0のときxは任意, p=0 かつq≠0 のとき解なし
Þ
解答
100>A 70
A<[X] @
1
(a−2)x+4ay=-1
>x> [<]X[**
(2)
x-(3a+1)y=a
3
であり、 ②により, x=(3a+1)y+a
③を①に代入して, (a−2){(3a+1)y+a}+4ay=−1
..
(3a²-a-2)y=-a²+2a-1
④
(a-1)(3a+2)y=-(a-1)2
の方程式④の解y に対して, ③ によりxがただ1つ定まり, 連立方程式 ①か
つ②の解(x,y) がただ1つ定まる.
よって, 連立方程式の解が 「存在しない・無数に存在する」 条件は、④の解が
「存在しない・無数に存在する」ことと同値である. よって, ④ から
のとき解なし.
3
(a-1)(3a+2)=0かつ-(α-1)20, つまり α=-
(a-1)(3a+2)=0かつ(a-1)2=0, つまり α=1のとき解は無数 .
注連立1次方程式の解の存在条件を座標平面で考える方法もある.
|ax+by=e... Ⓒ ((a, b)=(0, 0)
lcx+dy=f・イ (c, d)=(0, 0)
一般に,
を考えてみよう.xy平面上でアイは直線を表す. アとイが交われば,その交
点の座標が連立方程式の解である. したがって,
●解が存在しないということは,直線アとイが共有点をもたない,つまりアとイ
が平行で一致しないことと同値.
●解が無数に存在するということは,直線アとイが一致することと同値.
—ということになる.
直線アとイが平行である (一致も含む) ための条件は、
a:b=c:d(← ad-bc=0)
a
TRAN
a=
a=
方程式の解が存在する・存在しな
いをとらえるには, 実際に求めよ
うと考えればよい.y を求めるな
ら ④式を導くところ.
0-1,84502121
3012120 T
I+=2(1-1) +3021
本問の場合、次のようになる.
①と②が平行 (一致も含む) であ
あるための条件は,十
(a−2): 4a=1:{-(3a+1)}
(a-2) (3a+1)-4a=0
∴.3a²-a-2=0
2
a=- 1 XJIK
3'
これらのときの ① ② を求め,
致するかどうか調べる (α=1の
ときのみ一致する).
