cos0 の2次方程式を導くことができる。0<cos0<1に注意して,その方程式を解く。
20
0000
236
3倍角の公式の利用
半径1の円に内接する正五角形 ABCDE の1辺の長さをaとし a2
(1) 等式 sin 30+sin20=0が成り立つことを証明せよ。
(2) cosの値を求めよ。
(4)線分 ACの長さを求めよ。
基本 例題 151
57とする。
(3) aの値を求めよ。
(山形大
p.233 基本事項 )
指針> (1) 30+20=2xであることに着目。なお, 0を度数法で表すと 72°である。
(2) O (1)は (2) のヒント
DS0 A
(3), (4) 余弦定理を利用する。(4) では, (2) の方程式も利用するとよい。
解答
020g0mi
よって
30=2π-20nid(50=30+20
(1) 0=-ェから
50=2π
sin30=sin(2r-20)=-sin20
sin30+sin20=0
3sin0-4sin°0+2sin0cos0=0
3D0200
このとき
したがって
13倍角の公式
sin30=3sin0-4sin'0
忘れたら, 30=20+0とし
て,加法定理と2倍角の公
式から導く。
(2) (1)の等式から
sin0キ0 であるから,両辺を sin0で割って
3-4sin?0+2cos0=0
> 園お
ゆえに
3-4(1-cos°0)+2cos0=0
4cos'0+2cos 0-1=0
整理して
-1+V5
0<cos0<1であるから
cos 0=
0-T-300
A
CO8, 0-
(3) 円の中心を0とすると, △OAB において, 余弦定理により o (3)
AB=0A?+OB?-20A·OBcos0 0S(1-020o S)
-1+5_5-/5
a
B
1
02|
E
%D
4
2
っle0
a>0であるから
1
6る
01- -00
5-/5
a=AB=
2
(4) AOAC において, 余弦定理により
D
AC=OA?+0C?-20A·0Ccos 20
=12+12-2-1-1-cos 20=2-2(2cos'0-1)
=4-4cos°0=4-(1-2cos0)=D3+2cos@
(4) A
AC>0であるから
B
1
E
ー(2)の(*)から。
3+2.こ1+/5
4
AC=
5+5
1
2
D
のTの
O
分かりやすかったです！ありがとうございます😭