Question

ひ

(2)の説明が分かりません、どうしてこれで証明が出来るんですか？

亜例題
直接証明しにくい問題は間接証明法で
ピ=° に関する証明問題
nが3の倍数でないとき, nは整数んを用いて
がともに3の倍数でないと仮定して, 矛盾を導く。
nが3の倍数でないとき, n'を3で割った余りを求めよ。
その際,(1)の結果を利用するために, 両辺をそれぞれ3で割ったときの余りにつ
特に,(2)のような「少なくとも1つ」の証明には間接証明法が有効である。 a, b
は整数とする。
6, C, n
a bのうち少なくとも1つは3の倍数であること
を証明せよ。
SOLUTION
CHART
対偶を証明する
2 背理法を利用する
基本 113
いて考える。
解答)
n
3k+1 または 3k+2
別解(1) nが3 の倍
ないとき, kを整数
と表される。
] n=3k+1 のとき
パ=(3k+1)?=9k"+6k+1=3(3k°+2k)+1
てn=3k±1 と表さ
このとき
n=(3k±1)
=3(3土2k)+1
[2] n=3k+2 のとき
パ=(3k+2)?=9k?+12k+4=3(3k?+4k+1)+1
よって, n° を3で割った余りは1である。
) a, bがともに3の倍数でないと仮定する。
このとき,(1) により,α", b° を3で割った余りはともに1で
あるから, a°+6° を3で割った余りは 1+1=2 である。
(複)
よって, nを3で
余りは1である。
*和の余りの性質
0
(b.407 参照)
一方, cが3の倍数のとき, c?も3の倍数であり,
cが3の倍数でないとき, c'を3で割ると1余る。
よって, c?を3で割った余りは0または1である。
0,2は a'+b=c? であることに矛盾する。
ゆえに, a°+6°=c? ならば、a, bのうち少なくとも1つは
3の倍数である。
合ら+8とでに
た余りが同じ
とに矛盾。
S-

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

たかやな

a²+b²=c² の両辺を3で割った時のことを考えます。
まず、右辺について記します。
(1)で、nが3の倍数でない時にn²を3で割った余りは1であることが分かっています。
cが3の倍数の時、c²の余りは0
cが3の倍数でない時、c²の余りは1
c²を3で割った時の余りは0か1です。
ので、左辺のa²+b²を3で割った時の余りが2であれば、1+1=0 or 1 となってa²+b²=c²が成り立ちません。
よって、a²とb²のどちらかが3の倍数(余り0)でなければいけません。

ひ

わかりやすいご説明有難う御座います！