Question

エル

(2)でどうしてOB/OA=1になるか教えていただきたいです。よろしくお願いします。

3点0(0), A(@), B(8)を頂点とする△OAB について, 等式
α-a8+8°=0 が成り立つとき, 次の問いに答えよ。
B
基本例題30 三角形の形状 (2)
(2) AOAB はどのような三角形か。
の値を求めよ。
Q
基本 29
HART
OLUTION
(a, 8の2次式)30 と三角形の形状問題
の大きさと偏角を求める
(1) αキ0 であるから, 条件式の両辺を α'で割ると,号についての2次方程式
が得られる。
(2)(1) で求めたPを極形式で表す。
Q
後は p.51 基本例題 29 と同様に,
arg
Q
Bから,△OABの形状がわかる
Q
解答
合等式をαの2次方
とみて、解の公式か
をBで表してもよし
(1) αキ0 より α'キ0 であるから, 等式 α"-αB+8°=0 の両
辺をα?で割ると
1
30
2
すなわち
-+1=0
Bの2次方程式と
B
B_-(-1)±\(-1)-4·1·1_1±/3i
解の公式を利用。
について解くと
三
2-1
2
を極形式で表すと-c()sin(土)
B
B.
=COS|土
B={cos
土
Q
(複号同順)
+isin エ3
18|_ OB
OB
-=1
OA
から
B(B)
(複
と表せるから、に
点Aを原点を中
|a|OA
よって
OA=OB
.B
また, arg
π
から
3
A(a)
て、±さだけ回
点である。これ
AOAB が正三
ることがわかる
π
0
ZAOB=
3
ゆえに,△OABは正三角形である。
B(8)
kl2
klo)

Answer 1

neutral

まず、|β/α|の値を考えます。
β/αは（2）の解答1行目の通り、大きさが1、偏角が±π/3の複素数です。大きさが1であるので、|β/α|=1がいえます。
次に、|β/α|を変形します。
複素数の"絶対値"の性質により、|β/α|=|β|/|α|が成り立ちます（商の絶対値は、絶対値の商に等しい）。|α|はOAの長さを表し、|β|はOBの長さを表すため、|β/α|=|β|/|α|=OB/OAが導かれます。
したがって|β/α|=1と|β/α|=OB/OAをあわせて、OB/OA=1となります。