本 例題24| y軸の周りの回転体の体積 (2)
OOOOの
曲線 ソ=COSX (0S×ミT), y=-1, y軸で囲まれた部分をy軸の周りに1
回転してできる立体の体積Vを求めよ。
基本 240
CHARTOSOLUTION
y軸の周りの回転体の体積
x=g(y)のとき
V="\ざdy (c<d)
高校数学の範囲では, y=cos.x をxについて解くことができない。
x=g(y) が求められない,あるいは求めにくいときは置換積分法により, 積分
変数をxに変更することにより体積を求める。
解答
右の図から,体積は
-y=cosx
V=xS*ay
1
-1
ー元
ソ=COSX から
yとxの対応は次のようになる。
dy==sinxd
0
y
-1→1
Toxjs
x
π →0
CO
置換積分法
よって
V=\で(-sinx)dx
π
x'sinxdx
三π
π
(π
+ 2xcos xdx
や部分積分法
三ル
COS X,
-araina|-Snrd)
Pee9
2+|2xsinx
2sinxdx
*更に部分積分法
2+2cosx
三元
のた公ケ
=元ー4π
都分は、 04xいにおいて、曲
る の公
