級数O の初項から第n項までの部分和を Snとするとき,Szn-1, Sznをそれ
| 級数O の収束,発散を調べ,収束すればその和を求めよ。
静>) San-1が求めやすい。Sanは San=Sn-1+(第 2n項)として求める。
厚本例題125
1
2通りの部分和 San-1, San の利用
211
OOOO0
1
1
新限級数1-
2
1
2
1
4
3
3
4
0 について
n
ぞれ求めよ。
基本124)
4章
前ページの基本例題124と異なり,ここでは( )がついていないことに注意。
-のようなタイプのものでは,Snを1通りに表すことが困難で,(1)のように,
S, San の場合に分けて調べる。……の
そして、次のことを利用する。
[1] lim San-1=lim San=S ならば lim S,=S
15
無
限
級
数
n→m
n→0
n→00
[2] lim San-1キlim San ならば
{S.}は発散
2→0
→0
答
1
) Stn-1=1-
2
1
1
1
1
1
2
3
34
n
n
1
1
=1
4部分和(有限個の和)なら
()でくくってよい。
=1
2
(3
3
n
1
F1-
n+1
1
Sn=San-1-
n+1
参 無限級数が収束すれば、
その級数を,順序を変えずに
任意に( )でくくった無限級
数は、もとの級数と同じ和に
収束することが知られている。
(1)から
lim San-1=1,um Sen=lim(1-
=1
n→0
「カ→
よって
lim Sn=1
れ→0
したがって,無限級数のは収束して,その和は1
自然数
快討)無限級数の扱いに関する注意点
上の例題の無限級数の第n項を
と考えてはいけない。( )が付いている場合は,n
n n+1
番目の( )を第n 項としてよいが,( )が付いていない場合は、n番目の数が第n項となる。
注意 無限級数では,勝手に( )でくくったり、項の順序を変えてはならない!
例えば、S=1-1+1-1+1-1+……=(1-1)+(1-1)+(1-1)+……とみて、S=0などと1
したら 大間違い」(Sはヘ比 -1の無限等比級数のため,発散する。)
ただし、有限個の
このような制限はない。
