(2)与式 =sin Bsin (120°-B)=sinB(sin 120°cos B-cos120°sin B)
14 三角関数/三角形の内角に関する問題一
sin B+sinC の取り得る値の範囲を求めよ。
) sin BsinC の取り得る値の範囲を求めよ。
(一橋大)
三角形の問題でも,辺が現れず内角だけが問題になっているときは、
A+B+C=180°
「A>O°. B>0°, C>0", A+B+C=180°のとき,~を求めよ」
と同じことである。
囲の場合、A=60° であるから, B+C=120° (一定)である.そこで,「和→積」ゃ「積→和」の
公式を用いて, B+Cが現れるように変形してみよう。
ちろん,等式の条件式を活用する原則である「1文字消去」をして解くこともできる(理別解).
解答
B+C
B-C
B+C
B-C
(1) sinB+sinC=sin
2
+sin
令ここでは,「和→積」の公式を導
きながら答案を作った。
2
2
2
B-C
B+C
COS
2
=2sin
2
B-C
B-C
B+C=120° により, sinB+sinC=2sin60°cos-
=V3 cos
2
2
B+C=120°, B>0°, C>0° のとき,-120°<B-C<120°であるから,
B-C
B-C
60°
<60°
2
1
<cos
2
-60°<
0
2
-60°
2
V3
-<sin B+sin Cい/3
2
以上から,
(2) sin BsinC=
2
lcos(B-C)-cos(B+C))= cos(B-C)+
2cos(B+C)=cos120°=-
2
であり,-120°<B-C<120° により, -六<cos(B-C)<1
3
であるから, 0<sin Bsin C<
4
別解(B+C=120° により, C=120°-BとしてCを消去すると)
令加法定理で展開
リ与式 =sinB+sin(120°-B)=sinB+sin120°cosB-cos120°sin B
V3 2
=/3
13
-cos B=V3|sin B·
2
V3
+cosB·
2
1
3
sin B+
2
2
合合成
=/3 sin (B+30°)
13
-sin Bcos B+
2
1(1-cos2B)
全2倍角の公式
1
sin? B=
2
V3
sin2B+
4
ミ
4
田
1
1
sin2B·
V3
"cos 2B·
2
1
1
- sin(2B-30°)+
2
1
4
2
4
のとは,(1), (2)とも0°<B<120° を用いる。
